Réponse :
Démontrer que (Un) est minorée par 2
∀n ∈ N, on a ; Un = n² - 2 n + 3
(Un) est minorée par 2 ⇔ Un ≥ 2
étudions le signe de Un - 2
Un - 2 = n² - 2 n + 3 - 2 ⇔ Un - 2 = n² - 2 n + 1 ⇔ Un - 2 = (n - 1)²
or ∀n ∈ N ⇒ (n - 1)² ≥ 0
donc Un - 2 ≥ 0 ⇔ Un ≥ 2
Démontrer que (Vn) est majorée par 5
∀n ∈ N, Vn = 5 n/(n + 1)
(Vn) est majorée par 5 ⇔ Vn ≤ 5
étudions le signe de Vn - 5
Vn - 5 = 5 n/(n+1) - 5
= 5 n/(n+1) - 5(n+1)/(n+1)
= (5 n - 5 n - 5)/(n+1)
= - 5/(n + 1)
or n ≥ 0 ⇔ n + 1 > 1 ⇔ n + 1 > 0 et - 5 < 0
donc Un - 5 ≤ 0 ⇔ ∀n ∈ N on a; Un ≤ 5
Explications étape par étape :