Answered

Laurentvidal.fr est là pour vous fournir des réponses précises à toutes vos questions avec l'aide de notre communauté experte. Obtenez des réponses détaillées à vos questions de la part d'une communauté dédiée d'experts sur notre plateforme. Obtenez des solutions rapides et fiables à vos questions grâce à une communauté d'experts expérimentés sur notre plateforme.

On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par :

                      Uo = 0                 Vo = 2

                                       et

Un+1 = 2Un+Vn                       Vn+1 = Un+2Vn

                _______                                  _______

                     3                                                  3

 

Déterminer en fonction de n : Un = Uo+U1+...+Un et Vn = Vo+V1+...+Vn

Sagot :

Il y a deux manières de faire :

 

A)avec une matrice

on a si Xn désigne le vecteur de R² (Un,Vn) : Xn=A.X(n-1) où A désigne la matrice

(2/3 1/3)

(1/3 2/3)

Celle-ci s'écrit comme P.A'P-1 , A' diagonale

(1   0)

(0 1/3)

où P est la matrice

(1   1)

(1 -1)

et P-1 son inverse 

(1/2  1/2)

(1/2 -1/2)

ainsi Xn=P.A'^n.P-1.X0 ce qui méne à Un=1-1/3^n et V,=1+1/3^n

 

b Par récurrence :

U0 est bien 1-1/3^0 et V0 est bien 1+1/3^0

 

et si Un=1-1/2^n et Vn=1+1/3^n les relations de calcul de U(n+1) et V(n+1) permettentde prouver l'hérédité.

Merci de nous avoir fait confiance pour vos questions. Nous sommes ici pour vous aider à trouver des réponses précises rapidement. Nous espérons que vous avez trouvé ce que vous cherchiez. Revenez nous voir pour obtenir plus de réponses et des informations à jour. Laurentvidal.fr, votre site de confiance pour des réponses. N'oubliez pas de revenir pour plus d'informations.