Réponse :
ex1
1) on donne a = 10 k et b = 6 k ; avec k entier
a) montrer que a est un multiple de 2
a = 10 k ⇔ a = 2 x (5 k) donc il existe k' tel que k' = 5k k' entier
⇔ a = 2 k' donc a est un multiple de 2
b) montrer que b est un multiple de 3
b = 6 k ⇔ b = 3 x (2 k) donc il existe k' tel que k' = 2 k k' entier
⇔ b = 3 k' donc b est un multiple de 3
c) est-ce que 8 est un diviseur de a + b ?
a + b = 10 k + 6 k ⇔ a + b = 16 k ⇔ a + b = 8 x (2 k)
donc 8 est un diviseur de a + b
2) soit n un entier, montrer que la somme de n et des deux entiers qui suivent n est un multiple de 3
pour tout entier n ≥ 1
S = n + n+1 + n+2 = 3 n + 3 ⇔ S = 3(n + 1) donc S est un multiple de 3
3) soit n ∈ N, on pose a = 2 n - 7 et b = n + 1
a) calculer a - 2 b
a - 2 b = 2 n - 7 - 2(n + 1)
= 2 n - 7 - 2 n - 2
= - 9
b) soit d un diviseur de a et b
montrer que d est un diviseur de a - 2 b
a-2b = (2n-7)-2(n+1) = - 9
a-2b=-9
d diviseur de a ⇔ a = d x m
d diviseur de b ⇔ b = d x p
⇔ a - 2 b = d x m - 2 d x p = d(m - 2 p)
⇔ d(m - 2 p) = - 9
les valeurs possibles de d entier sont : 1 ; - 1 ; 3 ; - 3 ; 9 ; - 9
Explications étape par étape :