Réponse :
Calculer la limite des fonctions suivantes
a) lim √(2n+1) - √(2n-1)
n→+∞
√(2n+1) - √(2n-1) = [√(2n+1) - √(2n-1)][√(2n+1) + √(2n-1)]/[√(2n+1) + √(2n-1)]
= [(2 n + 1) - (2 n - 1)]/[√(2n+1) + √(2n-1)]
= 2/[√(2n+1) + √(2n-1)]
or lim √(2n+1) + √(2n-1) = ∞ + ∞ = + ∞
n→+ ∞
et lim 1/[√(2n+1) + √(2n-1)] = 0+
n→+∞
donc par produit : lim 2 x 1/[√(2n+1) + √(2n-1)] = 2 x 0 = 0
n→+∞
b) lim [2 n + (- 1)ⁿ]/[5 n + (- 1)ⁿ] = lim n(2 + (- 1)ⁿ/n)/n(5 + (- 1)ⁿ/n)
n→+∞ n→+∞
lim (2 + (-1)ⁿ/n)/(5 + (- 1)ⁿ/n)
n→+∞
or - 1 ≤ (- 1)ⁿ ≤ 1 ⇔ - 1/n ≤ (- 1)ⁿ/ n ≤ 1/n or n > 0
lim - 1/n = 0 et lim 1/n = 0
n→+∞ n→+ ∞
Donc d'après le théorème des gendarmes lim (- 1)ⁿ/n = 0
n→+∞
donc par quotient lim [2 n + (- 1)ⁿ]/[5 n + (- 1)ⁿ] = 2/5
n→+∞
Explications étape par étape :