Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
Soit la fonction définie sur l'intervalle (-2; 4) par f(x) = x³ -3x²- 9x + 11. On note H la représentation graphique de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
1. Déterminer une équation de la tangente Tau point A de H d'abscisse 2.
L''équation de la tangente d'abscisse est de la forme
y =f'(2) ( x- 2) + f(2)
f(2) = (2)³ - 3 (2)² - 9(2) + 11 = 8 - 3×4 - 18 + 11 = 8 - 12 - 7 = - 11
f est une fonction dérivable sur [-2;4]
f'(x) = 3x² - 6x - 9
donc f'(2) = 3(2)² - 6(2) - 9 = 3× 4 - 12 - 9 = - 9
donc l'équation de la tangente est
y = - 9 (x - 2) + f(2) = - 9 x + 18 -11= -9x + 7
y = -9 x + 7
2. On définit sur (-2; 4) la fonction g par g(x)=f(x)-(-9x + 7).
a. Étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle (-2;4) et dresser son tableau de variation.
sur [-2;4], g(x) =f (x)-(-9x + 7)
g(x) = x³ -3x²- 9x + 11 - ( - 9 x + 7)
g(x) = x³ -3x²- 9x + 11 + 9 x - 7
g(x) = x³ -3x² + 4
g est dérivable sur [-2;4] donc
g'(x) = 3x ²- 6x = 3x ( x - 2)
g' s'annule si 3x ( x - 2)= 0
si 3x = 0 ou x - 2 = 0
si x = 0 ou x =2
Tableau de variation de g
x - 2 0 2 4
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3x - ⊕ + +
_________________________________________
x - 2 - - ⊕ +
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signe de + ⊕ - ⊕ +
g'
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variation croissante décroissante croissante
de g
g(0) = 4 et g(2) = 2³ -3(2)² + 4= 8 - 12 + 4 = 0
g(-2) = (-2)³ - 3 (-2)² + 4 = - 8 -12 + 4 = -16
g(4) = (4)³ - 3 (4)² + 4= 20
b. Calculer g(-1). Déterminer le signe de g sur l'intervalle (-2;4).
g(- 1) = (-1)³ -3(1)² + 4= - 1 - 3 + 4 = 0
sur [-2;-1], la fonction g est négative est sur [-1;4] la fonction est positive car
x - 2 - 1 0 2 4
variation croissante 4 décroissante croissante 20
de g ⊕
- 16 0
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signe de - ⊕ +
g
c. Déterminer la position de H par rapport à Tangente sur l'intervalle (-2;4).
g(x) ≤ 0 sur sur [-2;-1], donc f(x) - (-9x + 7) ≤ 0 donc f(x) ≤ ( - 9 x + 7)
donc la courbe H est en dessous de la tangente T
g(x) ≥ 0 sur sur [-1; 4], donc f(x) - (-9x + 7) ≥ 0 donc f(x) ≥ ( - 9 x + 7)
donc la courbe H est au dessus de la tangente T
3. Donner un encadrement de glx) sur l'intervalle [0:41 puis sur l'intervalle (-2;4).
sur [0; 4] 0 ≤ g(x) ≤ 20
sur [-2; 4] -16≤g(x)≤20
4. Montrer que pour tout réel x de(-1;4), on a x³ >= 3x² -4.
La question 2 b nous savons que g(x) ≥ 0 sur [-1; 4] donc
g(x) = x³ -3x² + 4 ≥ 0 sur [-1; 4]
donc x³ -3x² + 4 ≥ 0
donc x³ ≥ 3x² - 4
