fofana3
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bonsoir svp j'ai une préoccupation sur un exo voici ça svp besoin de votre aide : Z^5 = Z' . on me demande de résoudre l'équation sachant que z est un complexe et z' son conjugué svp .

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Sagot :

Réponse :

résoudre l'équation  z⁵ = z⁻

z⁵ = z⁻  ⇔ module : |z⁵| = |z⁻|  et argument : arg(z⁵) = arg(z⁻) + 2kπ ; k ∈ Z

⇔ |z|⁵ = |z|  (car |z⁻| = |z|)  et  5arg(z) = - arg(z) + 2kπ ;  k ∈Z

⇔ |z|⁵ - |z| = 0  ⇔ (|z|⁴ - 1)z = 0  et 6arg (z) = 2kπ ; k ∈Z

⇔ |z|⁴ - 1 = 0  ou z = 0  et arg(z) = kπ/3 ;  k ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

⇔ z = 0 ou |z| = 1  et et arg(z) = kπ/3  ; k ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

cette équation possède donc 6 solutions

 z = 0   et zk = e^ikπ/3   avec  k ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

z = 0

z0 = e⁰ = 1

z1 = e^iπ/3 = 1/2 + i√3/2

z2 = e^i2π/3 = - 1/2 + i√3/2

z3 = e^iπ = - 1

z4 = e^i4π/3 = - 1/2 - i√3/2

z5  = e^i5π/3 = 1/2 - i√3/2  

                   

Explications étape par étape :

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