Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1)
Le triangle XYZ est un triangle isocèle car on a XZ= ZY = z cm et XY = z+ 1 cm
soit P₁ le périmètre du triangle XYZ
Le périmètre du triangle XYZ est :
P₁ = XZ + ZY + XY = z + z + z + 1 = 3z + 1
P₁ = 3z + 1
2)
les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires
Dans l'énoncé, nous savons que que AC = 24 cm et BD = 12 cm
AC et BD représentent les diagonales du losange ABCD
ainsi les diagonales du losange ABCD se coupent en point que nous allons appeler O formant ainsi quatre triangles rectangles en O
Nous avons donc les longueurs OA = 1/2 AC = 24/2 = 12 cm
et OB = 1/2 BD = 12/2 = 6 cm
nous allons travailler dans le triangle OAB rectangle en O pour connaitre la longueur AB du losange ABCD
donc dans le triangle OAB rectangle en O, d'après le théorème de Pythagore, nous avons
OA² +OB² = AB²
or OA = 12 cm et OB = 6 cm
application numérique
OA² +OB² = 12² + 6² = AB²
144 + 36 = AB²
180 = AB²
√180 = AB
Le périmètre d'un losange est 4 × c avec c le coté du losange
ici c = AB = √180 cm
soit P₂ le périmètre du losange
P₂ = 4 × c = 4 × AB = 4 × √180
P₂ ≈ 53,66 cm
P₂ = 54 cm au centimètre près
3)
Nous souhaitons que le périmètre du losange P₂ soit le double du périmètre P₁ pour connaitre la valeur de z
donc nous avons
P₂ = 2 × P₁
54 = 2 × ( 3z + 1)
54 = 6z + 2
54 - 2 = 6 z
52 = 6 z
52/6 = z
z ≈ 8,67 cm
La valeur de z est environ 8,67 cm pour que le périmètre du losange soit le double de celui du triangle XYZ
Vérification
en prenant la valeur exacte de z = 52/6 cm
nous avons
Périmètre du triangle
P₁= 3 × 52/6 + 1 = (3 × 52 )/ (2× 3) + 1
P₁ = 52/2 + 1 = 26 + 1
P₁= 27 cm
et périmètre du losange P₂ = 54 cm
pour information nous avons avec la valeur approchée de z = 8,67 cm
le Périmètre du triangle est
P₁ = 3 × 8,67 + 1 = 27,01 cm
