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Pouvez vous m’aidez merci d’avance.

Un propriétaire souhaite construire un enclos rectangulaire sur son terrain.
Celui-ci est représenté ci-dessous dans un repère orthonormé, d’unité le mètre. Il est délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la droite d’équation x = 5 et la courbe cf, représentative de la fonction f définie sur [0 ;5] par f (x) = 4 e – 0,5x.
L’enclos est représenté par le rectangle OABC où O est l’origine du repère et B un point de cf, ,
A et C étant respectivement sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
On note x l’abscisse du point A et D le point de coordonnées (5 ; 0) .
Le but de l’exercice est de déterminer la position du point A sur le segment [OD] permettant d’obtenir un enclos de superficie maximale.
1) Justifier que la superficie de l’enclos, en m2, est donnée en fonction de x par g(x) = 4xe – 0,5x. pour x dans l’intervalle [0 ;5] .
2) La fonction g est dérivable sur [0 ;5 ] . Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ;5], on a g’(x) = (4 – 2x) e – 0,5x .
3) En déduire le tableau de variations de la fonction g sur [0 ;5]
4) Où doit-on placer le point A sur [OD] pour obtenir une superficie d’enclos maximale ?
Donner la superficie maximale possible en arrondissant le résultat au dm2.

Pouvez Vous Maidez Merci Davance Un Propriétaire Souhaite Construire Un Enclos Rectangulaire Sur Son Terrain Celuici Est Représenté Cidessous Dans Un Repère Ort class=

Sagot :

Réponse :

1) justifier que la superficie de l'enclos en m², est donnée en fonction de x

   par g(x) = 4 xe⁻⁰⁵ˣ   pour x ∈ [0 ; 5]

   superficie de l'enclos  est :  s = OA * AB

   A(x ; 0)

   B(x ; 4e⁻⁰⁵ˣ)

vec(OA) = (x ; 0)  ⇒ OA² = x²  ⇒ OA = √x² = x    car  x ≥ 0

vec(AB) = (x - x ; 4e⁻⁰⁵ˣ) = (0 ; 4e⁻⁰⁵ˣ) ⇒ AB² = (4e⁻⁰⁵ˣ)² ⇒ AB = √(4e⁻⁰⁵ˣ)²

⇒ AB = 4e⁻⁰⁵ˣ    car e⁻⁰⁵ˣ > 0

donc  s = OA * AB = x * 4e⁻⁰⁵ˣ

donc la fonction  g(x) = 4 xe⁻⁰⁵ˣ   pour tout x ∈ [0 , 5]

2) la fonction g est dérivable sur [0 ; 5]  Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 5] ,  on a g '(x) = (4 - 2 x)e⁻⁰⁵ˣ

la fonction g est le produit de deux fonctions dérivables sur [0 ; 5]

et sa dérivée g '  est  g '(x) = (u * v)' = u'v + v'u

u(x) = 4 x  ⇒ u'(x) = 4

v(x) = e⁻⁰⁵ˣ  ⇒ v'(x) = - 0.5e⁻⁰⁵ˣ

g '(x) = 4 * e⁻⁰⁵ˣ + 4 x * (- 0.5e⁻⁰⁵ˣ)

       = 4e⁻⁰⁵ˣ - 2 xe⁻⁰⁵ˣ

       = (4 - 2 x)e⁻⁰⁵ˣ

3) en déduire le tableau de variations de la fonction g sur [0 ; 5]

    g '(x) = (4 - 2 x)e⁻⁰⁵ˣ   or  e⁻⁰⁵ˣ > 0  donc le signe de g '(x) dépend du signe de 4 - 2 x

               x    0                             2                        5

           g'(x)                    +             0            -

variation       0→→→→→→→→→→→→→ 8e⁻¹→→→→→→→→ 20e^-2.5    

de g                    Croissante                   décroissante

4) où doit-on placer le point A sur (OD) pour obtenir une superficie d'enclos maximale ?  

on doit placer le point A d'abscisse  x = 2  sur (OD) pour avoir une superficie maximale

Donner la superficie maximale possible en arrondissant au dm²

  la superficie maximale est  smax = 8e⁻¹ m² ≈ 2.9 m²

Explications étape par étape :