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Un propriétaire souhaite construire un enclos rectangulaire sur son terrain.
Celui-ci est représenté ci-dessous dans un repère orthonormé, d’unité le mètre. Il est délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la droite d’équation x = 5 et la courbe cf, représentative de la fonction f définie sur [0 ;5] par f (x) = 4 e – 0,5x.
L’enclos est représenté par le rectangle OABC où O est l’origine du repère et B un point de cf, ,
A et C étant respectivement sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
On note x l’abscisse du point A et D le point de coordonnées (5 ; 0) .
Le but de l’exercice est de déterminer la position du point A sur le segment [OD] permettant d’obtenir un enclos de superficie maximale.
1) Justifier que la superficie de l’enclos, en m2, est donnée en fonction de x par g(x) = 4xe – 0,5x. pour x dans l’intervalle [0 ;5] .
2) La fonction g est dérivable sur [0 ;5 ] . Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ;5], on a g’(x) = (4 – 2x) e – 0,5x .
3) En déduire le tableau de variations de la fonction g sur [0 ;5]
4) Où doit-on placer le point A sur [OD] pour obtenir une superficie d’enclos maximale ?
Donner la superficie maximale possible en arrondissant le résultat au dm2.
