Réponse :
résoudre les inéquations suivantes dans R
a) (36 x² - 12 x + 1)(- 6 x² - x - 1)/(3 - x)(- 3 x² + x + 4) > 0
⇔ (6 x - 1)²(- 6 x² - x - 1)/(3 - x)(- 3 x² + x + 4) > 0 or (6 x - 1)² > 0
il faut que 3 - x ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 et - 3 x² + x + 4 ≠ 0
Δ = 1+48 = 49 ⇒ √49 = 7
x1 ≠ -1+7)/- 6 ≠ - 1
x2 ≠ - 1 - 7)/-6 ≠ 4/3
Df = R\{- 1 ; 4/3 ; 3}
- 6 x² - x - 1
Δ = 1 - 24 = - 23 < 0 donc - 6 x² - x - 1 est du signe de a = - 6 < 0
Donc ∀x ∈ R on a ; - 6 x² - x - 1 < 0
tableau de signes
x - ∞ - 1 4/3 3 + ∞
3 - x + + + || -
- 3 x² + x + 4 - || + || - -
- 6 x² - x - 1 - - - -
Q + || - || + || -
l'ensemble des solutions est : S = ]- ∞ ; - 1[U]4/3 ; 3[
b) 3 t/(t - 2) ≤ 2 t ≠ 2 donc Df = R\{2}
⇔ 3 t/(t - 2) - 2 ≤ 0 ⇔ 3 t/(t - 2) - 2(t - 2)/(t - 2) ≤ 0
⇔ (t + 4)/(t - 2) ≤ 0
t - ∞ - 4 2 + ∞
t + 4 - 0 + +
t - 2 - - || +
Q + 0 - || +
l'ensemble des solutions est : S = [- 4 ; 2[
c) (3 x - 1)/(3 x + 1) - (3 x + 1)/(3 x - 1) ≤ 0 x ≠ - 1/3 et x ≠ 1/3
⇔ [(3 x - 1)² - (3 x + 1)²]/(3 x - 1)(3 x + 1)
⇔ (3 x - 1 + 3 x + 1)(3 x - 1 - 3 x - 1)/(3 x - 1)(3 x + 1)
⇔ - 12 x/(3 x - 1)(3 x + 1)
tableau de signes
x - ∞ - 1/3 0 1/3 + ∞
- 12 x + + 0 - -
3 x + 1 - || + + +
3 x - 1 - - - || +
Q + || - 0 + || -
S = ]- 1/3 ; 0]U]1/3 ; + ∞[
Explications étape par étape :
