Réponse :
EX.4 Simplifier les expressions données pour tout réel x
1) eˣ * e⁻²ˣ = eˣ * 1/e²ˣ = eˣ * 1/(eˣ)² = 1/eˣ = e⁻ˣ
2) eˣ⁺² * e⁻ˣ = eˣ * e² * 1/eˣ = e²
3) (eˣ)² * (e⁻ˣ)³ = e²ˣ * e⁻³ˣ = e²ˣ+⁽⁻³ˣ⁾ = e²ˣ⁻³ˣ = e⁻ˣ
4) (e¹⁻ˣ)² * e²ˣ = e²⁽¹⁻ˣ⁾ * e²ˣ = e² * 1/(eˣ)² * (eˣ)² = e²
EX.5 Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
1) e²ˣ⁺¹ = e⁵/² pour tout réel a et b eᵃ = eᵇ ⇔ a = b
2 x + 1 = 5/2 ⇔ 2 x = 5/2 - 1 = 3/2 ⇔ x = 3/4
2) e²ˣ⁺¹ - 1 = 0 ⇔ e²ˣ⁺¹ = 1 ⇔ ln(e²ˣ⁺¹) = ln (1) ⇔ ⇔2 x + 1 = 0 ⇔ x = - 1/2
3) eˣ²⁻⁵ = e⁻⁴ˣ ⇔ x² - 5 = - 4 x ⇔ x² + 4 x - 5 = 0
Δ = 16 + 20 = 36 > 0 ⇒ 2 solutions distinctes
x1 = - 4 + 6)/2 = 1
x2 = - 4 - 6)/2 = - 5
4) 1 ≤ e³ˣ ⇔ ln(1) ≤ ln(e³ˣ) car ln est une fonction croissante
⇔ 0 ≤ 3 x ⇔ x ≥ 0 l'ensemble des solutions est S = [0 ; + ∞[
5) (eˣ)² ≥ e⁻ˣ⁻¹ ⇔ e²ˣ ≥ e⁻ˣ⁻¹ ⇔ 2 x ≥ - x - 1 ⇔ 3 x ≥ - 1 ⇔ x ≥ - 1/3
S = [-1/3 ; + ∞[
6) eˣ⁺³ ≥ 1/eˣ ⇔ eˣ⁺³ ≥ e⁻ˣ ⇔ x + 3 ≥ - x ⇔ 2 x ≥ - 3 ⇔ x ≥ - 3/2
S = [- 3/2 ; + ∞[
Explications étape par étape :