Réponse :
dans chacun des cas, donner l'ensemble de définition, la dérivée et l'ensemble de dérivabilité de la fonction f , vous donnez ensuite ses variations
1) f(x) = x² - 2 x - 1
* Df = R
* f est une fonction polynôme donc dérivable sur R et sa dérivée f ' est
f '(x) = 2 x - 2
x - ∞ 1 + ∞
f'(x) - 0 +
f(x) + ∞→→→→→→→→→→ - 2 →→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
2) f(x) = - x³ + 2 x² + 4 x
Df = R
f '(x) = - 3 x² + 4 x + 4 Df' = R
Δ = 16 + 48 = 64 > 0 2 solutions distinctes
x1 = - 4 + 8)/- 6 = - 2/3
x2 = - 4 - 8)/-6 = 2
x - ∞ - 2/3 2 + ∞
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) + ∞ →→→→→→→→→→→ f(-2/3)→→→→→→→→→ f(2) →→→→→→→→→→→ - ∞
décroissante croissante décroissante
f(-2/3) = - (-2/3)³ + 2(-2/3)² + 4(- 2/3) = .......
f(2) = - 2³ + 2*2² + 4*2 = 8
3) f(x) = (x² + 5 x + 5)/(x² + x + 1)
x² + x + 1
Δ = 1 - 4 = - 3 < 0 pas de solutions
donc le signe de x² + x + 1 est du signe de a = 1 > 0 donc
∀x ∈ R x² + x + 1 > 0 Donc l'ensemble de définition est Df = R
la fonction f est dérivable sur R et sa dérivée est f '
f '(x) = (u/v)' = u'v - v'u)/v²
f '(x) = [(2 x + 5)(x² + x + 1) - (2 x + 1)(x² + 5 x + 5)]/(x² + x + 1)²
= (2 x³ + 2 x² + 2 x + 5 x² + 5 x + 5) - (2 x³ + 10 x² + 10 x + x² + 5 x + 5)
= (2 x³ + 7 x² + 7 x + 5) - (2 x³ + 11 x² + 15 x + 5)]/(x² + x + 1)²
= (2 x³ + 7 x² + 7 x + 5 - 2 x³ - 11 x² - 15 x - 5)]/(x² + x + 1)²
= (- 4 x² - 8 x)/(x² + x + 1)² or (x² + x + 1)² > 0
donc le signe de f' (x) est du signe de - 4 x² - 8 x
x - ∞ - 2 0 + ∞
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 1 →→→→→→→→→→→→→ - 1/3 →→→→→→→→→→ 5 →→→→→→→→→→→ 1
décroissante croissante décroissante
Explications étape par étape :