Bonjour :))
Cette synthèse de cours sur la résolution de polynôme du second degré consistera à vous donner les généralités sur ces polynômes de second degré ainsi que les outils vous permettant de résoudre et de déterminer des solutions racines dans le domaine des nombres réels. Il ne s'agit en aucun cas de vous poser une démonstration détaillée de la formule du discriminant ou d'apporter des précisions sur les solutions complexes dans le cas d'un discriminant négatif. Ce cours s'attache uniquement sur la résolution dans les nombres réels à la portée d'une classe de première.
I) Définitions
Un polynôme est une fonction définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] de la forme :
[tex]x \rightarrow a_nx^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\\\\avec\ n \in \mathbb{N}\ et\ a_0,\ a_1, ....\in \mathbb{R}[/tex]
Un trinôme du second degré est en réalité un polynôme de trois termes avec son plus haut degré élevé à 2. Il s'exprime souvent de la manière suivante :
[tex]ax^{2}+bx+c \ \ \ \ avec\ a, \ b\ et\ c\in \mathbb{R}[/tex]
II) Résolution d'un polynôme de second degré
Théorème pratique (méthode du Delta ou discriminant) : Il existe un discriminant noté [tex]\Delta[/tex] qui admet une certaine quantité et qui permet de dévoiler la nature des solutions racines d'un polynôme de second degré.
[tex]\Delta = b^{2} - 4ac \ \ \ (ADMIS)\\\\a, b\ et\ c\ sont\ les\ r\'eels\ de\ la\ formule\ g\'en\'erale\ du \ trin\^ome\\\\Si :\begin{cases}\Delta > 0 : Il\ existe\ deux\ racines\ r\'eelles\ not\'ees\ x_1\ et\ x_2\\x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ et\ x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\Delta = 0 : il\ existe\ une\ unique\ solution\ r\'eelle\ x_0\\x_0 = \frac{-b}{2a}\\\\\Delta<0 : il\ n'existe\ aucune\ solution\ racine\ r\'eelle\end{cases}[/tex]
On pose la fonction polynôme définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] telle que : [tex]f(x) = x^{2}+5x+4[/tex]
Résoudre f(x) = 0.
[tex]f(x) = 0\ revient\ \`a\ r\'esoudre\ x^{2}+5x+4=0\\\\Calculons\ le\ discriminant\ \Delta\\\\\Delta = b^{2} - 4ac = 5^{2} - 4 * 4 * 1 = 25 - 16 = 9\\\\\Delta = 9 > 0\ \ \ Le\ polyn\^ome\ admet\ donc\ deux\ racines\ solutions\ dans\ \mathbb{R}\\\\x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5+3}{2} = -\frac{2}{2} = -1 \\\\x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5-3}{2} = -\frac{8}{2} = -4[/tex]
On considère deux courbes Cf et Cg qui ont pour fonctions respectives :
[tex]f(x) = 3x^{2}+10x+5\\\\g(x)=-x^{2}+19x+3[/tex]
Donner les points d'abscisses pour lesquels les deux courbes se coupent.
[tex]On\ cherche\ la \ solution\ de\ f(x)=g(x)\\\\3x^{2}+10x+5 = -x^{2} + 19x + 3\\4x^{2}-9x+2=0\\\\Calcul\ du\ discriminant\\\Delta = (-9)^{2} - 4 * 4 * 2\\\Delta = 81 - 32 = 49 > 0\\\\Le\ polyn\^ome\ admet\ deux\ solutions\ racines\ dans\ \mathbb{R}\\\\x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{9+7}{2*4} = \frac{16}{8} = 2\\\\x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{9-7}{2*4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}[/tex]
Conclusion : Aux points d'abscisse 2 et 0,25, les courbes Cf et Cg se coupent.
Espérant t'avoir aidé à travers cette fiche récapitulative, je te souhaite une excellente continuation ;)
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