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Sagot :

on peut supposer qu'il s'agit de f(x)=2*ln(x+3)/(x+3)

 

cette fonction est >0 sur [n,n+1] et décroissante sur R+

(dérivée du signe de 1-ln(x+3))

 

donc pour tout n et n<=x<=n+1, f(n+1)<=f(x)<=f(n)

donc en intégrant :

f(n+1)<=Un<=f(n) car (n+1)-n=1

 

comme limite de f(n)=0,

Un tend aussi vers 0 (th des Gendarmes)

 

F' est egal à f(x) donc F est une primitive de f et

donc F(n)-F(0)

             =(ln((n+3)/3))²

             =(ln(1+n/3))²

 

Il est clair que Un=I(n+1)-In donc par télescopage de ces égalités :

Sn=I(n+1)+I(0)=I(n+1) car I0=ln(1)=0

 

Sn vaut donc (ln((4/3)+n/3))² et tend vers +infini

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