lamiaa2004adnane
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Salut ! Veuillez m'aider à résoudre cet exercice de Logique , s'il vous plaît .

Soient a , b et c des réels de R+* tq :
[tex]abc > 1[/tex] et [tex]a + b + c < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} [/tex]
• Montrer que : a < 1 ou b < 1 ou c < 1​

Sagot :

jpmorin3

bjr

on sait que abc > 0 et a + b + c < 1/a + 1/b + 1/c

si a + b + c < 1/a + 1/b + 1/c alors a + b + c - (1/a + 1/b + 1/c) < 0 (1)

a + b + c - (1/a + 1/b + 1/c) =

a + b + c - 1/a - 1/b - 1/c  =               (dénominateur commun abc)

[(a + b + c)abc - bc -ac - ab] / abc =

(a²bc + ab²c + abc² - bc - ac - ab) /abc =

[bc(a² - 1) + ac(b² - 1) + ab(c² - 1)] / abc  

supposons que les trois nombres a, b et c soient supérieurs à 1

alors

[bc(a² - 1) + ac(b² - 1) + ab(c² - 1)] / abc > 0 (2)

ce qui est en contradiction avec (1)

les 3 nombres ne peuvent pas être tous supérieurs à 1,

il y en a au moins un qui est inférieur à 1

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