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Sagot :
Réponse :
Explications étape par étape :
■ dérivée f ' (x) = -2 / (x+5)² toujours négative
donc la fonction f est toujours décroissante sur ] -5 ; +∞ [
■ méthode du taux de variation :
[ f(x+h) - f(x) ] / h = [ 2/(x+h+5) - 2/(x+5) ] / h
= 2(x+5 - x-h-5) / [ h (x+5) (x+h+5) ]
= -2h / [ h (x+5)² ]
= -2 / (x+5)² .
■ nombre dérivé en x = -3 :
f ' (-3) = -2 / 2² = -2 / 4 = -1 / 2 = - 0,5 .
■ recherche de l' équation de la tangente :
f(-3) = 1
y = -0,5x + b devient donc 1 = 1,5 + b d' où b = -0,5
conclusion : l' équation de la tangente est donc :
y = -0,5x - 0,5 .
Réponse :
Explications étape par étape :
1) f est une fonction rationnelle, continue et donc dérivable sur son ensemble de définition. f est par conséquent dérivable en -3
En utilisant la définition du nombre dérivé on obtient :
[tex]f'(-3)= \lim_{x \to \--3} \frac{f(x)-f(-3)}{x-(-3)}= \lim_{x \to \--3} \frac{\frac{2}{x+5} -\frac{2}{-3+5} }{x+3}= \lim_{x \to \--3} \frac{\frac{2}{x+5} -1 }{x+3}=\lim_{x \to \--3} \frac{\frac{2-x-5}{x+5}}{x+3}=\lim_{x \to \--3} -\frac{\frac{x+3}{x+5}}{x+3}=\lim_{x \to \--3} -\frac{1}{x+5}=-\frac{1}{2}[/tex]
2) En utilisant la définition de la tangente d'une fonction en un point :
[tex]T: y=f(-3)+f'(-3)(x-(-3))=1+(-\frac{1}{2})(x+3)=1-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2} =-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}[/tex]
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