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Sagot :
Explications étape par étape:
Bonsoir,
Parfois tu pourras astucieusement factoriser un polynôme via quelques manipulations. Or, cela est chronophage, dans ce genre d'exercice, tu es obligé d'étudier la dérivée, voire la dérivée seconde.
Ici, f étant un polynôme, elle est drivable pour tout réel x, et pour tout x dans R :
f'(x) = 4x^3 - 3x^2 - 10x - 4.
Aucun moyen de conclure ici non plus, il faudra donc étudier la concavité / convexité par la dérivée seconde :
f''(x) = 12x^2 - 6x - 10 pour tout réel x.
On calcule le discriminant D = 36 + 10*12*4 = 36 + 480 = 516.
Comme il est strictement positif, il y aura 2 solutions explicites x1 et x2 :
x1 = [6 - Rac(516)] / 24 = [6 - 2*Rac(129)] / 24 = [3 - Rac(129)] / 12 et x2 = [3 + Rac(129)] / 12.
Le coefficient devant x^2 étant positif, f'' est positif à l'extérieur des racines, et négatif à l'intérieur. Ainsi :
Si x € ]-infini ; x1] U [x2 ; +infini[ alors f''(x) >= 0.
De même, si x € ]x1 ; x2[ alors f''(x) < 0.
On déduit donc que la courbe de f' est croissante sur l'intervalle ]-infini ; x1[, puis décroissante sur ]x1 ; x2[ et croissante sur ]x2 ; +infini[.
Ensuite, il nous faut bien analyser. Rac(129) ~ 11 donc x1 < 0. De même, x2 > 0.
On calcule ensuite les images de x1 et x2 par la fonction f', on peut établir par approximation que f'(x1) > 0 (largement) et f'(x2) < 0.
Or, lim f(x) = - infini quand x tend vers - infini, et réciproquement.
Il faut vraiment dessiner pour comprendre.
x1 < 0 et f'(x1) > 0 avec f' croissante signifie que, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur z appartenant à ]-infini ; x1[ , tel que f'(z) = 0. Et, par conséquent, f'(x) <= 0 sur ]-infini ; z], f'(x) > 0 sur ]z ; x1[.
De même, lorsque la courbe atteint f'(x1) > 0, elle descend jusqu'à f'(x2) < 0, on réapplique le théorème. Il existe donc une unique valeur t, dans [x1 ; x2] telle que f'(t) = 0.
Ainsi, f'(x) >= 0 sur [x1 ; t] et f'(x) < 0 sur ]t ; x2[.
Identiquement, comme f'(x2) < 0 et lim f(x) = + infini quand x tend vers infini, il existe r, tel que f'(r) = 0 etc.
Conclusion : f'(x) >= 0 si x € [z ; x1] U [x1 ; t] U [r ; +infini[ = [z ; t] U [r ; +infini[
Et f'(x) < 0 si x € ]-infini ; z[ U ]t ; x2[.
On peut désormais (ENFIN) conclure que f est croissante sur l'intervalle [z ; t] U [r ; +infini] et décroissante sur [-infini ; z] U [t ; x2[.
Je te laisse terminer, à toi de calculer f(z), f(t), f(x2) etc.
Bonne soirée
Réponse :
f(x) ≤ 0 donne Solution = [ x2 ; x1 ] ≈ [ 0,571596 ; 2,978326 ]
Explications étape par étape :
■ x^4 - x³ - 5x² - 4x + 4 = 0
■ la Casio 25 indique deux racines :
x1 ≈ 2,978326 = a
x2 ≈ 0,571596 = b
■ développons :
(x - a) (x - b) [ x² + cx + (4/ab) ]
= (x² - (a+b)x + ab) [ x² + cx + (4/ab) ]
= x^4 + cx³ + 4x²/ab - (a+b)x³ - c(a+b)x² - 4(a+b)x/ab + abx² + abcx + 4
■ par identification :
c - a - b = -1
4/ab - c(a+b) + ab = -5
-4(a+b)/ab + abc = -4
remplaçons c par a+b-1 :
4/ab - (a+b)² + a+b + ab = -5
-4(a+b)/ab + ab(a+b) - ab = -4
remplaçons ab par 1,7 ; et a+b par 3,55 :
4/1,7 - 12,6 + 3,55 + 1,7 ≈ -5 vérifié
-4*2,09 + 6,035 - 1,7 ≈ -4 vérifié
■ conclusion :
on peut factoriser l' expression du texte sous cette forme :
(x-2,978326) (x-0,571596) (x²+2,55x+2,353)
■ tableau de signes :
x --> 0,57 2,98
(x-2,98) --> - - 0 +
(x-0,57) --> - 0 + +
(x²+2,55x+2,35) --> toujours positif
f(x) --> + 0 - 0 +
■ conclusion finale :
f(x) ≤ 0 donne Solution = [ x2 ; x1 ] ≈ [ 0,571596 ; 2,978326 ]
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