Explications étape par étape:
Bonsoir, en premier lieu, il te faut savoir que |x| = x si et seulement si x >= 0 (supérieur ou égal).
Sinon, |x| = - x.
On commence donc par résoudre x^2 - 1 >= 0, qui équivaut à x^2 >= 1. Autrement dit, x € ]-infini ; -1] U [1 ; +infini[.
Pat conséquent, |x^2 - 1| = x^2 - 1 si et seulement si x appartient à l'intervalle précédent.
Autrement, si x € ]-1 ; 1[, alors |x^2 - 1| = -x^2 + 1.
2- On étudie la dérivabilité de en 1, lorsque x tend vers 1, avec x > 1.
Par définition, cela équivaut à calculer la limite du taux d'accroissement de [f(x) - f(1)] / (x-1) lorsque x tend 1, x > 1 (qu'on peut aussi appeler 1+).
f(x) - f(1) = x^2 - 1, donc la limite vaut (x^2 - 1) / (x-1) = x+1 = 2.
De même, lorsque x tend 1, avec x < 1 :
f(x) - f(1) = -(x^2 - 1), donc la limite vaudra - x - 1 = - 2, qui est différente de l'autre limite. f n'est donc pas dérivable en 1.
Par la même occasion, tu peux aussi prouver que f n'est pas dérivable en -1.
Bonne soirée
