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bonsoir voici mon problème aider moi svp On considère le polynôme P définie sur R par :P(x) = 3x3 - x - 2.
1. Vérifie que 1 est racine de
2. Détermine les réels a, b et c tels que : P(x) = (x - 1)(ax2 + bx + c).
3. Détermine le signe de P(x) suivant les valeurs de x sur l'intervalle ]0; +00[.
PARTIE B
.
On considère la fonction g dérivable sur l'intervalle ]0; +00[ par :
g(x) = x3 - x + 1 - 2lnx .
1. a) Calcule la limite de g(x) en 0.
b) Calcule la limite de g(x)en +0.
P(x)
2. a) Démontre que :V x € ]0; +001.g'(x) =
b) Etudie les variations de .
c) Dresse le tableau de variations de .
3. Justifie que: Vxe ]0; +001, g(x) > 0.
X
​

Sagot :

Réponse :

bonsoir Pour un élève de terminale, la partie A n'est pas nécessaire pour traiter la partie B.

partie A  Il suffit de faire la division euclidienne pour déterminer les coef a, b, c et noter que le terme ax²+bx +c=0 n'a pas de solution. donc P(x)=0 a une solution unique x=1

Explications étape par étape :

Partie B

g(x)=x³-x+1-2lnx   sur ]0;+oo[

1) limites

a) si x tend vers 0+,  g(x) tend vers +oo  (limite de -2lnx)

b) si x tend vers +oo, g(x)  g(x) tend vers +oo (limite de x³ ; croissances comparées)

2a) dérivée g'(x)=3x²-1-2/x

étudions le signe de cette dérivée sans passer par P(x)

étude de g'(x) sur ]0;+oo[

Limites

si x tend vers0+, g'(x) tend vers -oo (limite de -2/x)

si x tend vers +oo, g'(x) tend vers+oo

Dérivée g"(x)=6x+2/x²=(6x³+2)/x²

on constate que cette dérivée est toujours >0

Tableau de signes de g"(x) et de variations de g(x)

x       0                                           +oo

g"'(x)                    +

g'(x) -oo            Croi                         +oo

D'après le TVI g'(x)=0 admet une et une seule solution (solution évidente x=1)

Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x    0                       1                         +oo

g'(x).           -            0           +

g(x)+oo   ......D.........g(1).........C..............+oo

3) g(1)=1 ceci est la valeur minimale de g(x) donc g(x)>0

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