Explications étape par étape:
Bonsoir, rien de mieux qu'un exemple :
On considère la fonction f(x) = 1/x.
En - infini, elle tend 0, en + infini, vers 0.
Cela signifie qu'elle se rapprochera de plus en plus de 0, sans jamais atteindre 0 (principe d'une limite, tu tends vers une valeur sans jamais l'atteindre).
Plus rigoureusement, lorsque x tend vers + ou - infini, f(x) tend vers 0 (plus facile à comprendre sois cette forme).
Donc l'image de x par la fonction f tend vers 0.
Tu prends un réel x donné, et tu calcules la valeur de l'ordonnée en ce point.
En + et - infini, l'ordonnée sera donc de plus en plus proche de 0, f(x) va donc tendre vers 0, soit vers la droite d'équation y = 0.
Tu as probablement appris qu'une droite a pour equation y = ax + b pour tout reel x. Comme y = 0, alors forcément, le coefficient directeur vaut a vaut 0 (car la droite est valable pour tout réel x), et b = 0.
La droite n'est donc pas inclinée, et b correspond à l'ordonnée à l'origine, donc 0.
Ainsi, il s'agit d'une droite horizontale, d'équation y = 0.
Et ceci est la définition d'une asymptote horizontale, c'est simplement une droite horizontale vers laquelle tend une courbe.
Autre exemple : Pour f(x) = 3 - (1/ x^2).
En x = - infini, lim f(x) = 3, de même, en x = + infini, lim f(x) = 3.
Cela signifie que f admet une asymptote horizontale à gauche et à droite d'équation y = 3.
f(x) peut tendre vers n'importe quel réel s, on fait alors une étude, x < s pour l'asymptote horizontale à gauche et x > s pour l'asymptote horizontale à droite.
En général, on préfère regarder graphiquement d'abord, pour conjecturer une limite s (qui ne sera JAMAIS + ou - infini, sinon asymptote verticale) puis on prouve notre conjecture.
Bonne soirée, n'hésite pas si tu veux des précisions
