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Bonjour ! Pourriez vous m'aider svp ?On considère les fonctions f et g définies respectivement sur R et sur R\{-2} par :

f(x) = x2 + 3x + 1 et g(x) =-1/
x+2
On note C, la courbe représentative de la fonction f et C, celle de la fonction g.
1. Etudier les variations de la fonction f puis construire son tableau de variation.
2. Etudier les variations de la fonction g puis construire son tableau de variation.
3. Soit h la fonction définie sur R\{-2} par:
h(x) = f(x) - g(x)

3. a. Montrer que h(x) =(x + 1)²(x + 3)/
x+2
3.b. Etudier le signe de h(x).
Indication :
Le signe d'un quotient est déterminé par la règle des signes, de manière analogue à celle d'un produit. On
construira un tableau de signe avec une ligne pour chaque élément de l'écriture de la question 3.a. puis une
dernière afin de faire le bilan en appliquant la règle des signes.
3.c. Déterminer la position relative de Cf par rapport à Cg.
4. Démontrer que les courbes Cf et Cg admettent une tangente commune en un de leurs points d'intersection.
Donner l'équation réduite de cette tangente.

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

f '(x)=2x+3

2x+3 > 0 ==> x > -3/2

Variation :

x-------->-∞........................-3/2.......................+∞

f '(x)---->..........-..................0............+..........

f(x)----->.................D............?..............C..............

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

f(-3/2)=9/4-9/2+1=9/4-18/4+4/4=-5/4

2)

Je suppose donc que tu as vu les dérivées.

(1/u) ' =-u'/u²

Ici : u=x+2 donc u'=1

g '(x)=-(-1/(x+2)²)

g '(x)=1/(x+2)²

Donc g '(x) est toujours > 0 sur son intervalle de définition.

x---------->-∞.....................-2....................+∞

g '(x)---->...........+..............||...........+.........

g(x)----->...........C..............||............C.............

3)

a)

h(x)=x²+3x+1 - (-1/(x+2))

h(x)=x²+3x+1 + (1/(x+2))

On réduit au même dénominateur :

h(x)=([(x²+3x+1)(x+2)+1] / (x+2)

Je te donne le résultat final du numérateur que tu développes:

h(x)=(x³+5x²+7x+3) / (x+2)

Développons :

(x+1)²(x+3)=(x²+2x+1)(x+3)=...tu développes  et ça donne .......=(x³+5x²+7x+3)

Donc :

h(x)=(x+1)²(x+3)/(x+2)

b)

(x+1)² ≥ 0 et vaut zéro pour x=-1.

x+3 > 0 ==> x > -3

x+2 > 0 ==> x > -2

Tableau de signes :

x---------->-∞..................-3...............-2................-1..................+∞

(x+1)²---->............+..................+................+..........0........+...........

(x+3)---->..........-............0.........+...............+......................+..........

(x-2)---->..........-.......................-.......0...........+..................+...........

h(x)------>........+..........0..........-.......||..........+........0...........+............

c)

Sur ]-∞;-3[ U ]-2;+∞[ ; h(x) >  0 donc f(x)-g(x) > 0 , donc f(x) > g(x) , donc :

Cf au-dessus de Cg.

A noter que pour x=-1 , cf et Cg  ont un point de tangence.

Pour x=-3 , Cf et Cg ont un point d'intersection.

Sur ]-3;-2[ , h(x) < 0 , h(x) < 0 , donc f(x) < g(x) donc :

Cf au-dessous de Cg.

Voir graphique.

d)

Les abscisses des  points communs de Cf et Cg sont donnés par les solutions de ;

f(x)=g(x) soit f(x)-g(x)=0 soit h(x)=0.

Solutions données par :

(x+1)²(x+3)=0

(x+1)²=0 OU x+3=0

x=-1 OU x=-3

La solution x=-1 est double car (x+1)²=(x+1)(x+1).

C'est donc en x=-1 que l'on a le point de tangence.

f '(x)=2x+3 ; f '(-1)=-2+3=1 et f(-1)=(-1)²-3+1=-1

Tangente à Cf en x=-1:

y=(x-(-1)) -1

y=x

-----------

g '(x)=1/(x+2)²

g '(-1)=1 ; g(-1)=-1 /(-1+2)=-1

Tangente à Cg en x=-1 :

y=(x-(-1)) -1

y=x

View image Bernie76
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