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Bonjour ! Pourriez-vous m'aider ? Je bloque sur les deux dernières questions ! On considère les fonctions f et g définies respectivement sur R et sur R\{-2) par :
1
f(x) = x2 + 3x + 1 et g(x) = -1/x + 2
On note C, la courbe représentative de la fonction f et C, celle de la fonction g.
1. Etudier les variations de la fonction f puis construire son tableau de variation.
2. Etudier les variations de la fonction g puis construire son tableau de variation.
3. Soit h la fonction définie sur R\{-2) par:
h(x) = f(x) - g(x)
3.a. Montrer que h(x) =
(x+1)^2(x+3)/x+2
3.b. Etudier le signe de h(x).
Indication :
Le signe d'un quotient est déterminé par la règle des signes, de manière analogue à celle d'un produit. On
construira un tableau de signe avec une ligne pour chaque élément de l'écriture de la question 3.a. puis une
dernière afin de faire le bilan en appliquant la règle des signes.
3.c. Déterminer la position relative de Cf par rapport à Cg.
4. Démontrer que les courbes Cf et Cg admettent une tangente commune en un de leurs points d'intersection.
Donner l'équation réduite de cette tangente.

Sagot :

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape :

1)l'étude de f(x) ne présente aucune difficulté

Df=r

dérivée f'(x)=2x+3

tableau

x   -oo                        -3/2                   +oo

f'(x)          -                    0         +              

f(x)+oo   .......D............f(-3/2)..........C.........+oo

2)l'étude de g(x) tu as eu une réponse

3)Passons à h(x)=f(x)-g(x)

on met au même dénominateur et on réduit le numérateur

h(x)=(x³+5x²+7x+3)/(x+2)

On te dit que h(x)=[(x+1)²(x+3])/(x+2)  

si tu développes et réduis (x+1)²(x+3) tu retrouves x³+5x²+7x+3

Tu peux donc écrire h(x)=[(x+1)²(x+3)]/(x+2)² Cette expression n'est pas définie pour x=-2

Pour trouver son signe sur R-{-2} il suffit de faire un tableau de signes

x    -oo                  -3                    -2                     -1             +oo

(x+1)²         +                     +                     +             0      +

(x+3)           -           0        +                     +                      +

(x+2)           -                      -           0        +                      +

h(x)              +          0        -           II         +            0        +      

Si h(x)>0   Cf est au dessus de Cg

si h(x)<0     Cf est en dessous de Cg  

 x=-3     est un point d'intersection de Cf et Cg

x=-1     est un point de tangence des deux courbes. Cf vient au contact de Cg mais reste au dessus de Cg. En ce point d'abscisse x=-1 les deux courbes admettent une tangente commune (T)

équation de (T) y=f'(-1)(x+1)+f(-1)=x-1

ou y=g'(x)(x+1)+g(x)

           

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