Bonjour,
1.
Rappel :
La loi des noeuds dit que la somme des intensités électriques qui arrivent est égale à celle des intensités électriques qui en repartent.
donc I = [tex]I_{1}[/tex] + [tex]I_{2}[/tex]
Or I = 50,
donc 50 = [tex]I_{1}[/tex] + [tex]I_{2}[/tex]
donc [tex]I_{2}[/tex] = 50 - [tex]I_{1}[/tex]
2. La puissance dissipée par effet Joule est obtenue en multipliant la résistance du conducteur (Ω) par l'intensité du courant (A) :
[tex]P_{J}[/tex] = r * I²
Or, dans notre exercice, il y a 2 résistances pour parvenir au noeud [tex]N_{1}[/tex],
on additionne donc l'effet Joule de chacune des deux lignes électriques :
[tex]P_{J}[/tex] = [tex]r_{1}[/tex] * ([tex]I_{1}[/tex])² + [tex]r_{2}[/tex] * ([tex]I_{2}[/tex])²
= 0,6 * ([tex]I_{1}[/tex])² + 0.4 * ([tex]I_{2}[/tex])²
3. On sait que :
[tex]I_{2}[/tex] = 50 - [tex]I_{1}[/tex]
On obtient donc :
[tex]P_{J}[/tex] = 0,6 * ([tex]I_{1}[/tex])² + 0,4 * (50-[tex]I_{1}[/tex])²
= 0,6[tex]I_{1}[/tex]² + 0,4 * (2500 - 100[tex]I_{1}[/tex] + [tex]I_{1}[/tex]²)
= 0,6[tex]I_{1}[/tex]² + 1000 - 40[tex]I_{1}[/tex] + 0,4[tex]I_{1}[/tex]²
= [tex]I_{1}[/tex]² - 40[tex]I_{1}[/tex] + 1000
4.
a. x correspond à l'intensité [tex]I_{1}[/tex] .
b. f(x) correspond à la puissance dissipée par l'effet Joule pour cette intensité.
c. Graphiquement, f semble admettre une valeur minimale de 600.
d. Graphiquement, f semble admettre ce minimum en x = 20.
5. La valeur de l'intensité [tex]I_{1}[/tex] qui minimise les pertes est donc de 20A.
6.
[tex]I_{2}[/tex] = 50 - [tex]I_{1}[/tex]
= 50 - 20
= 30 A
30<40 donc la contrainte de [tex]I_{2}[/tex] est bien respectée.
Bonne journée
