Réponse :
1. Posons
[tex]u'(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2} \\v(x)=x[/tex]
u' est de la forme a'/a². Sa primitive est de la forme -1/a
ainsi
[tex]u(x)=-\frac{1}{1+e^x}\\v'(x)=1[/tex]
Par integration par parties on a
[tex]\int\limits^0_1 {u'(x)v(x)} \, dx =[u(x)v(x)]_0^1-\int\limits^0_1 {u(x)v'(x)} \, dx[/tex]
[tex]I=[-\frac{x}{1+e^x} ]_0^1-\int\limits^0_1 {(-\frac{1}{1+e^x}) } \, dx \\I=[-\frac{x}{1+e^x} ]_0^1+\int\limits^0_1 {(\frac{1}{1+e^x}) } \, dx \\I=[-\frac{x}{1+e^x} ]_0^1+J\\I = -\frac{1}{1+e} +J[/tex]
2.
[tex]\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} =\frac{\frac{1}{e^x} }{\frac{1}{e^x}+1 } =\frac{\frac{1}{e^x} }{\frac{1+e^x}{e^x} }=\frac{1}{1+e^x}[/tex]
[tex]J = \int\limits^0_1 {\frac{1}{1+e^x} } \, dx =\int\limits^0_1 {\frac{ e^{-x}}{ e^{-x}+1}} \, dx \\J = [-ln( e^{-x}+1)]_0^1\\J=-ln(e^{-1}+1)+ln(2)[/tex]
3.
[tex]I = -\frac{1}{1+e} +J\\I = -\frac{1}{1+e} - ln(e^{-1}+1)+ln(2)[/tex]
