Bonsoir,
Exercice 2 :
Comme (8; -4) est un vecteur directeur de la droite (d1), elle admet une équation cartésienne de la forme :
[tex]4x + 8y + c = 0[/tex]
A(-2; 1/3) appartient à cette droite, donc :
[tex]4( - 2) + 8 \times \frac{1}{3} + c = 0 \\ - 8 + \frac{8}{3} + c = 0 \\ - \frac{16}{3} + c = 0 \\ c = \frac{16}{3} [/tex]
On obtient l'équation :
[tex]4x + 8y + \frac{16}{3} = 0[/tex]
Exercice 3 :
En faisant la somme des deux équations, on obtient :
[tex]30y = 90 \\ y = 3[/tex]
On en déduit :
[tex]x + 25 \times 3 = 65 \\ x + 75 = 65 \\ x = 65 - 75 \\ x = - 10[/tex]
La solution est donc :
(x, y) = (-10, 3)
Exercice 4 :
1) Le coefficient directeur de la droite (AB) vaut :
(yB - yA) / (xB - xA) = (-25 - 2) / (0 - (-9)) = -3
(AB) admet donc une équation cartésienne de la forme :
[tex]3x + y + c = 0[/tex]
B(0; -25) appartient à cette droite, donc :
3×0 - 25 + c = 0
c = 25
On a donc l'équation :
[tex]3x + y + 25 = 0[/tex]
2)
[tex] - 13 + 3( - 4) + 25 = 0[/tex]
Les coordonnées du point C(13; -4) vérifient l'équation de la droite d1, donc il lui appartient.
3) La droite d1 a pour coefficient directeur 1/3, tandis que celui de d2 vaut -3.
Ils sont différents, donc les droites ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes.
4) On doit résoudre le système :
[tex] - x + 3y + 25 = 0 \\ 3x + y + 25 = 0[/tex]
[tex]9y + 75 + y + 25 = 0 \\ 10y + 100 = 0 \\ y = - 10[/tex]
[tex]x = 3y + 25 = 3 \times ( - 10) + 25 = - 5[/tex]
Le point I a donc pour coordonnées (-5; -10).
5) AC^2 = (xC - xA)^2 + (yC - yA)^2 = (13 - (-9))^2 + (-4 - 2)^2 = 520
AI^2 + IC^2 = 160 + 360 = 520
On a l'égalité : AC^2 = AI^2 + IC^2
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AIC est rectangle en I.
6) On en déduit que les droites (AI) et (IC) sont perpendiculaires.
I et C sobt deux points distincts de d1, donc (IC) = d1
A et I sont deux points distincts de d2, donc (AI) = d2
Donc d1 et d2 sont perpendiculaires.
Voilà, j'espère que ça t'a aidé ! :))
