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Sagot :
Réponse :
1) étudier le signe de f(x)
f(x) = (- x² + 1)eˣ or eˣ > 0 donc le signe de f(x) dépend du signe de
- x² + 1
x - ∞ - 1 1 + ∞
- x² + 1 - 0 + 0 -
f(x) ≥ 0 sur l'intervalle [- 1 ; 1]
f(x) ≤ 0 // // ]- ∞ ; - 1]U[1 ; + ∞[
2) a) déterminer f '(x)
f(x) = (- x² + 1)eˣ ⇒ f '(x) =(uv)' = u'v + v'u
u = - x² + 1 ⇒ u' = - 2 x
v = eˣ ⇒ v' = eˣ
f '(x) = - 2 xeˣ + (- x² + 1)eˣ
= - 2 xeˣ - x²eˣ + eˣ
f '(x) = (- x² - 2 x + 1)eˣ
b) déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0
y = f(0) + f '(0) (x - 0)
f(0) = 1
f '(0) = 1
y = 1 + x (T)
3) sens de variation de f
a) déterminer le signe de f '(x) puis les variations de f
f '(x) = (- x² - 2 x + 1)eˣ or eˣ > 0 donc le signe de f '(x) dépend de
- x² - 2 x + 1
= - (x² + 2 x - 1)
= -(x² + 2 x + 1 - 1 - 1)
= -((x+1)² - 2) = - ((x+1)² - (√2)²) = - (x + 1 +√2)(x+1-√2)
x -∞ - 1-√2 -1+√2 + ∞
f'(x) - 0 + 0 -
f '(x) ≥ 0 sur l'intervalle [-1-√2 ; -1+√2] ⇒ f est croissante sur cet intervalle
f '(x) ≤ 0 // // ]-∞ ; -1-√2]U[-1+√2 ; + ∞[ ⇒ f est décroissante sur cette intervalle
Explications étape par étape :
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