Explications étape par étape:
Bonsoir,
1-a On pose classiquement G, comme variable aléatoire associée au gain algébrique du joueur. Les issues sont bien évidemment équiprobables.
Étant donné que le lanceur obtient 5 000 € en misant 8 € s'il obtient 10 FACE d'affilée, son gain sera de 5 000 + 8 = 5008 €
Dans tous les autres cas, il perdra 8€.
Puisqu'on effectue 10 lancers, l'arbre de probabilités possédera 2^10 = 1 024 branches.
On peut donc établir la loi de probabilité de G :
P(G = 5008) = 1 / (2^10) = 1 / 1024, puis P(G = -8) = 1023/1024.
b- L'espérance se calcule en multipliant les probabilités associées au gain entre elles, et en faisant la somme. Ainsi :
E(G) = (5008 / 1024) - (8 x 1023/ 1024) = (5008 / 1024) - (8184 / 1024) = -3176 / 1024 < 0.
Ce jeu est donc défavorable au joueur.
2- En effectuant la mise de départ à 4€, on obtiendra P(G = -4) = 1023/1024, et P(G = 5004) = 1 / 1024.
Ainsi : E(G) = (5004/1024) - (4 x 1023 / 1024) = (5004 / 1024) - (4092 / 1024) = 912 / 1024 > 0.
3- Ici, il faut utiliser la formule permettant de calculer les coefficients binomiaux. On pose p = 1/2 et q = 1 - p = 1/2 = p, la probabilité d'avoir PILE.
Soit k, le nombre de FACE, et F la variable aléatoire correspondant au nombre de FACE obtenus.
Alors P(F = k) = (k parmi n) x p^k x q(n-k) = (k parmi n) x p^n avec k, entre 0 et 10, et (k parmi n) correspond au nombre de branches de succès.
En fonction du gain algébrique, on peut établir que P(F = k) = P(G = -4) si k est inférieur ou égal à 4.
De même, P(F = k) = P(G = 0) si k appartient à [4 ; 9]. Ceci ne comptera pas dans le calcul de l'espérance, car G = 0. Et enfin, P(F = 10) = P(G = 5004).
Par conséquent, P(G = -4) = P(F = 0) + P(F = 1) + P(F = 2) + P(F = 3) + P(F = - 4) = p^10 x [0 parmi 10 + 1 parmi 10 + 2 parmi 10 + 3 parmi 10 + 4 parmi 10]
0 parmi 10 = 1.
1 parmi 10 = 10.
2 parmi 10 = 10 x 9 / 2 = 45.
3 parmi 10 = 10 x 9 x 8 / 6 = 720 / 6 = 120.
4 parmi 10 = 10 x 9 x 8 x 7 / 24 = 10 x 3 x 3 x 8 x 7 / 24 = 10 x 3 x 7 = 210.
Ainsi P(G = -4) = p^10 x [1 + 10 + 45 + 120 + 210] = 386/1024.
De même, P(G = 5004) = P(F = 10) = 1/1024.
L'esperance vaudra donc : E(G) = (-4)*(386/1024) + (5004/1024) = (-1544/1024) + (5004/1024) = 3460/1024 > 0
4- Afin de rendre le jeu équitable, il faut et il suffit que l'espérance soit nulle. En conservant la configuration suivante, soit z €, la mise de départ. Il faut donc que (-386 x z)/1024 + (5000 + z)/1024 = 0.
Cela équivaut à 5 000 - 385 z = 0, d'où z = 5000/385, soit environ 13€.