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Bonjour, je suis en seconde et je suis bloquée pour cet exercice. Merci

(O; i, j ) est un repère orthonormé du plan. On place un point M sur l'axe des abscisses et un point N sur l'axe des ordonnées. On appelle α l'abscisse de M et β l'ordonnée de N. On suppose que α et β sont tous les deux non nuls. Soit d et d′ les droites d'équation respective x−y+1=0 et y=2x.

1. Déterminer, en fonction de α et β , une équation cartésienne de la droite (MN).
2. Déterminer une condition sur les réels α et β pour que la droite (MN) soit parallèle à la droite d.

3. a. Déterminer une condition sur les réels α et β pour que la droite (MN) soit sécante à la droite d′.

b. On suppose 2α+β différent de 0. Exprimer en fonction de α et β les coordonnées du point d’intersection T des droites (MN) et d'.

Sagot :

Réponse :

1) déterminer, en fonction de α et β une équation cartésienne de la droite (MN)

soit  A(x ; y) tel que les vecteurs MA et MN soient colinéaires c'est à dire XY' - YX' = 0

vec(MA) = (x - α ; y)

vec(MN) = (- α ; β)

XY' - YX' = 0  ⇔ (x - α)*β - y(-α) = 0 ⇔ β x + α y - αβ = 0

2) déterminer une condition sur les réels α et β pour que la droite (MN) soit parallèle à la droite  d

u : vecteur directeur de (MN) est :  vec(u) = (- α ; β)

v :   //              //         //     d    est :    vec(v) = (1 ; 1)

(MN) // d  ⇔ les vecteurs u et v sont colinéaires  ⇔ - α - β = 0

⇔ α = - β

3) vec(u) = (- α ; β)

   vec(v) = (- 1 ; - 2)

la droite (MN) est sécante à la droite d'  ⇔ les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires  ⇔ XY' - YX' ≠ 0  ⇔ - (α)*(-2) - β*(-1) ≠ 0  ⇔ 2 α + β ≠ 0

b) on suppose 2α+β≠ 0, exprimer en fonction de α et β les coordonnées

du point d'intersection T des droites (MN) et d'

(MN) :   β x + α y - αβ = 0  ⇔ y = - β/α) x + β

d'     : y = 2 x

- β/α) x + β = 2 x  ⇔ β = 2 x + β/α) x  ⇔ (2α + β)/α) x = β

⇔ x = αβ/(2α+ β)   et y = 2αβ/(2α+β)

T(αβ/(2α+ β) ; 2αβ/(2α+β))

Explications étape par étape :

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