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S’IL VOUS PLAÎT C’EST JE N’Y ARRIVE PAS (C’est pour un dm)


Pour la question 1 j’ai déjà trouvé :

• f’(x)=3x^2-3
•f’(1/2)=-9/4

On considère la fonction f:x -> x3 – 3x + 1 définie sur R et Cf sa courbe représentative dans un repère.

1) Déterminer une équation de la tangente T à C, au point d'abscisse (1/2).
2) Déterminer les réels a, b et c tels que f(x)-(-9/4 + 3/4) = (x + 1)(ax2 + bx + c) pour tout réel x.
3) A l'aide des questions précédentes, étudier les positions relatives de Cf, et de T.

Sagot :

Svant

Réponse:

f(x) = x³-3x+1

f'(x)=3x²-3

la tangente a pour equation

y = f'(½)(x-½) + f(½)

f(1/2) = -3/8

f'(1/2) = -9/4

ainsi

y = -9/4(x-½) - 3/8

y = (-9/4)x + 3/4

2)

f(x) - (-9/4 x +3/4 ) = x³ - 3x +1 + 9/4 x - 3/4

f(x) - (-9/4 x +3/4 ) = x³ - 3/4 x + 1/4

developpons :

(x+1)(ax²+bx+x) = ax³ + bx² + cx + ax² + bx + c

= ax³ + (a+b)x² + (b+c)x + c

par comparaison on a :

a = 1

a+b = 0

b+c = -3/4

c = 1/4

on en deduit

a=1

b=-1

c=1/4

f(x) - (-9/4 x +3/4 ) = (x+1)(x²-x+¼)

3) Etudions le signe de f(x) - (-9/4 x +3/4 )

on peut remarquer que x²-x+¼ = (x-½)²

f(x) - (-9/4 x +3/4 ) = (x+1)(x-½)²

(x-½)² ≥ 0 pour tout x reel

(x+1) ≥ 0 pour x ≥ -1

ainsi

f(x) - (-9/4 x +3/4 ) ≤ 0 sur ]-∞; -1[

Cf est en dessous de T sur ]-∞; -1[

f(x) - (-9/4 x +3/4 ) ≥ 0 sur [-1; +∞[

Cf est au dessus de T sur [-1; +∞[

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