C est un exercice sur la chapitre des fonctions exponentielles. Une entreprise fabrique des vis au moins 6tonnes par mois. Le coût moyen de fabrication en millier d'euros par tonne,d'une production mensuelle de x tonnes est donné par C(x), où C est la fonction définie sur ]0;6] par: C(x)= (0.1e^x+20) / x . L'exercice est en plusieurs étapes,d'une part il à l'aide de la calculatrice: -conjecturer en termes de variation, l'évolution du coût moyen de fabrication dur l'intervalle ]0;6] -estimer le minimum du coût moyen et la production mensuelle correspondante -dire s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros par tonne (en précisant la méthode utilisée). Apres, il faut montrer que,pour tout reel x appartenant à ]0;6] : C'(x)= (0.1x e^x - 0.1e^x-20) / x^2 -On considère la fonction f definie su [0;6]: f(x)= 0.1x e^x -0.1e^x -20. -Verifier que pour tout réel de [0;6]: f'(x)=0.1x e^x. -Justifier que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0;6] -Montrer que pour l'equation f(x)=0 admet une seule solution dans [0;6] (donner la valeur de cette solution arrondie au dixieme près) - En deduire le signe de f(x) sur [0,6] -A l'aide des questions precedentes,justifier que le minimum du cout moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de " " tonnes de vis(" " correspond a la seule solution trouvée auparavant) . -Justifier que C(seule solutuion) = 0.1 e^(seule solution)
si C(x)= (0.1e^x+20) / x alors C'(x)= ((0,1e^x*x-0,1*e^x-20)/x^2 CQFD ((u'v-uv')/v^2)
sur 0,6 x est >0 et e^x est >0 donc f' egalement, f croit
comme f(0)=-0,1-20 <0 et f(6)=0,5e^6-20 >0 le TVI donne ne solution de f(x)=0 sur cet intervalle
Notons a cette valeur : 0,1*a*e^a-0,1*e^a-20=0 soit 0,1*a*e^a=0,1*e^a+20
alors C(a)=(0,1*e^a+20)/a vaut 0,1*e^a