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Une association dijonnaise à caractère humanitaire cherche à réaliser le forage d’un puit dans le sud marocain où le besoin en eau potable devient de plus en plus préoccupant.

L’entreprise « A la recherche d’eau », propose le tarif suivant :

- le creusement du premier mètre est facturé 200 €

-à partir du deuxième mètre, le creusement est facturé 20 € de plus que le précédent.



L’association dijonnaise dispose d’un budget de 33 000 €. Pourra-telle réaliser un puit de 50 mètres de profondeur? Proposer une démarche mathématique pour répondre à la question posée.



​

Sagot :

corentinlenclos

Bonsoir, j'espère que tu vas bien ; je te mets la réponse à la suite :

Nous avons [tex]P(n+1) = P(n) + U(n+1)[/tex] et [tex]U(n+1) = U(n) + 20[/tex], avec comme [tex]U(1) = 200[/tex] et [tex]U(n+1) = 20n+200[/tex] !

Nous remplaçons avec ce que nous avons les éléments de [tex]P(n+1)[/tex] :

[tex]P(n+1) = P(n) + U(n+1)[/tex]

[tex]P(n+1) = P(n) + 20n+200[/tex]

[tex]P(2) = P(1) + 20(1)+200[/tex]

[tex]P(n+1)= P(1) + 20n+20(n-1) + ... + 20(1) + 200n[/tex]

[tex]P(n+1)= 200 + 20(n+n-1+ ... + 1) + 200n[/tex]

[tex]P(n+1)= 200+20(n+1)*\frac{n}{2} +200n[/tex]

[tex]P(n+1)= 200+(10n+10)n+200n[/tex]

[tex]P(n+1)= 200+10n\²+10n+200n[/tex]

[tex]P(n+1)= 10n\²+210n+200[/tex]

[tex]P(n+1)= 10(n+1)(n+20)[/tex]

Nous avons désormais [tex]P(n+1)[/tex], nous allons pouvoir dire si oui ou non un puit de 50 mètres de profondeur peut être réaliser ou non :

[tex]P(50)=P(49+1)=10(49+1)(49+20)=10(50)(69)=500*69=[/tex] 34 500 €

[tex]P(49)=P(48+1)=10(48+1)(48+20)=10(49)(68)=490*68=[/tex] 33 320 €

[tex]P(48)=P(47+1)=10(47+1)(47+20)=10(48)(67)=480*67=[/tex] 32 160 €

L'association dijonnaise pourra réaliser un puit de 48 mètres seulement.

Bonne soirée !

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