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Bonsoir,
J'ai vraiment besoin d'aide, je suis en première et je suis bloquée sur cet exercice de maths :
On note f la fonction définie pour tout réel x par : f(x) = (2x-1)e^-x.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal(o,i,j).
1) Calculer la fonction dérivée f' de la fonction f, puis démontrer que, pour tout réel x, f'(x) est du signe de (-2x+3).
2) Dresser le tableau de variation de la fonction f
3) Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisse
4) Déterminer une équation de chacune des tangentes T1 et T2 à la courbe C aux points d'abscisse 3/2 et 1/2.
5) Tracer T1, T2 et la courbe C dans le repère (o,i,j)
6) Vérifier que, pour tout réel x, f(x) = -f'(x)+2e^-x
7) En déduire une fonction F telle que F'=f
F est une primitive de f.
Merci d'avance !!

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ f(x) = (2x-1) exp(-x)

■ dérivée f ' (x) = (1-2x) exp(-x) + 2 exp(-x) = (3-2x) exp(-x)

   cette dérivée est nulle pour x = 1,5

   cette dérivée a bien le même signe que (3-2x) .

■ tableau demandé :

   x --> -∞             0           0,5          1,5              +∞

f ' (x) ->                 +          1,213          0       -

  f(x) -> -∞            -1             0       0,44626          0

■ coordonnées du point C :

   C = (0,5 ; 0 ) .

■ Tangente T2 au point C :

   y = 1,213x - 0,6065 .

■ Tangente T1 au point S (1,5 ; 0,44626) :

   y = 0,44626

   ( tangente horizontale ! )

■ -f ' (x) + 2 exp(-x) = (2x-3) exp(-x) + 2 exp(-x)

                               = (2x-1) exp(-x)

                               = f(x) vérifié !

■ primitive F(x) = (ax+b) exp(-x)

   donne f(x) = a exp(-x) - (ax+b) exp(-x)

                    = (a-b - ax) exp(-x)

                    = (2x-1) exp(-x)

   donc a = -2 et b = -1

   d' où F(x) = (-2x-1) exp(-x) .

   vérif :

   f(x) = -2 exp(-x) + (2x+1) exp(-x) = (2x-1) exp(-x) .

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