Bonjour, exercice difficile.
A mon avis, il manque toutes les parenthèses lors de la division par 2.
1) 1² + 2² = 1 + 4 = 5 et [tex]\dfrac{3^2+1}{2} = \dfrac{9+1}{2} = \dfrac{10}{2} = 5[/tex] : l'égalité est vraie.
(le 3 du 3² viendrait de 1+2)
2) 2² + 3² = 4 + 9 = 13 et [tex]\dfrac{5^2+1}{2} = \dfrac{25+1}{2} = \dfrac{26}{2} = 13[/tex] : l'égalité est vraie
(le 5 du 5² viendrait de 2+3)
3) 3² + 4² = 9 + 16 = 25
(le 7 du 7² viendrait de 3+4)
4) 4² + 5² = 16 + 25 = 41
Avec la même observation, on additionne 4 et 5, ce qui donne 9. Regardons si l'égalité [tex]4^2+5^2=\dfrac{9^2+1}{2}[/tex] est vraie.
[tex]\dfrac{9^2+1}{2} = \dfrac{81+1}{2} = \dfrac{82}{2} = 41[/tex] : l'égalité est vraie.
Généralisation :
Conjecture : soit [tex]x[/tex] un nombre.
[tex]x^2+(x+1)^2 = \dfrac{(x+x+1)^2+1}{2}[/tex] autrement dit : [tex]x^2 + (x+1)^2 = \dfrac{(2x+1)^2+1}{2}[/tex]
Preuve :
[tex]x^2 + (x+1)^2 = x^2 + x^2 + 2x + 1 = 2x^2+2x+1[/tex]
[tex]\dfrac{(2x+1)^2+1}{2}=\dfrac{(2x)^2+2 \times 2x \times 1 + 1^2+1}{2}\\\dfrac{(2x+1)^2+1}{2}=\dfrac{4x^2 + 4x + 1 + 1}{2}\\\dfrac{(2x+1)^2+1}{2}=\dfrac{4x^2 + 4x + 2}{2}\\\dfrac{(2x+1)^2+1}{2}=\dfrac{2(2x^2 + 2x + 1)}{2}\\\dfrac{(2x+1)^2+1}{2}=2x^2+2x+1[/tex]
Les deux membres sont égaux (on trouve [tex]2x^2+2x+1[/tex] pour chaque) pour tout nombre [tex]x[/tex].
