Explications étape par étape:
Bonsoir, comme on l'a vu hier soir, il faut bien saisir une chose, ton égalité est valable, si et seulement x € R+*, sinon, ln(x) ne serait pas définie.
En revanche, si x tend vers 0, alors exp(pi*ln(x)) tend vers 0, par composition. Tu pourras donc prolonger par continuité.
Ainsi, tu peux "tricher", tu poses pour tout x € R+*, que f(x) = x^pi = exp(pi*ln(x)).
Si x = 0, que f(0) = 0.
Tu auras parfaitement défini ta fonction, elle sera aussi continue en 0, par prolongement (si la limite existe, et finie, alors il y a possibilité de prolonger).
Pour la fonction x^2, souci de bijection. Tu ne peux pas écrire comme ça que x^2 = exp(2*ln(x)). Dis-toi bien que, pour composer ln et exp, il faut nécessairement, par souci de bijectivité, que x € R+*.
Effectivement, x^2 est définie sur R, MAIS, égalité fausse pour x <= 0, donc impossible d'écrire x^2 = exp(2*ln(x)) si x n'appartient pas à R+*. Sinon, tu peux mettre R comme domaine de définition pour x^2, mais supprimer l'égalité.
Identiquement, lim exp(2*ln(x)) = 0 en 0.
Ainsi, 3 possibilités en conclusion :
Si x € R, alors f(x) = x^2.
Si x € R+*, alors f(x) = x^2 = exp(2*ln(x)).
Si x = 0, comme la limite vaut 0, en posant f(0) = 0, ta fonction sera continue par prolongement en 0.
Bonne soirée à toi, n'hésite pas si tu as des questions !
