Question 1.
A(-2;0) appartient à la courbe, donc f(-2)=0, ou encore :
[tex]f(-2) = (a \times (-2) + b) e^{-2}=0[/tex]
Par conséquent, comme [tex]e^{-2} \neq 0[/tex] :
[tex]a \times (-2) + b = 0\\-2a+b=0[/tex]
De plus, B(0;2) appartient à la courbe, donc :
[tex]f(0) = (a \times 0 + b) e^{-0} = 2[/tex]
Donc :
[tex]b \times e^{-0} = 2\\b \times 1 = 2\\b = 2[/tex]
Donc :
[tex]-2a+b=0\\-2a + 2 = 0\\a=1[/tex]
D'où : [tex]f(x)=(x+2)e^{-x}[/tex]
Question 2.
[tex]f[/tex] est dérivable sur R (composition fonction affine ; exponentielle) et :
[tex]f'(x) = e^{-x} - (x+2)e^{-x}\\f'(x) = (-x-1)e^{-x}[/tex]
[tex]e^{-x}>0[/tex] pour tout nombre réel [tex]x[/tex] donc le signe de la dérivée dépend de [tex]-x-1[/tex].
[tex]-x-1\geq 0\\-x\geq 1\\x\leq -1\\\\-x-1\leq 0\\-x\leq -1\\x\geq -1[/tex]
f' positif pour x inférieur ou égal à -1 donc f croissante sur ]- inf ; -1]
f' négatif pour x supérieur ou égal à -1 donc f croissante sur [-1 ; +inf[
Explications étape par étape :
Réponse :
1) déterminer a et b
a : coefficient directeur = 1
b : l'ordonnée à l'origine b = 2
2) étudier les variations de f
f(x) = (x + 2)e⁻ˣ
f '(x) = (u*v)' = u'v+v'u
u = x + 2 d'où u' = 1
v = e⁻ˣ ; v' = - e⁻ˣ
f '(x) = e⁻ˣ - e⁻ˣ(x + 2) = e⁻ˣ(1 - x - 2)
f '(x) = (- x - 1)e⁻ˣ
or e⁻ˣ > 0 donc le signe de f'(x) dépend du signe de - x - 1
x - ∞ - 1 + ∞
f '(x) + 0 -
f(x) - ∞ →→→→→→→→→ 3e⁻¹→→→→→→→ 0
croissante décroissante
Explications étape par étape :