Explications étape par étape :
Ex1 f(0) = 1 A ( 0; 1 ) f(1) = -1 B ( 1 ; -1 ) f(-1 ; 1 ) C ( -1 ; 1 )
A ( 0 ; 1 ) ∈ Cf , f(0) = 1 ⇔ a * 0² + b * 0 + c = 1
c = 1
B (1 ; -1 ) ∈ Cf , f(1) = -1 ⇔ a * 1² + b * 1 + c = -1
a + b + 1 = -1
a + b = -1 - 1
a + b = -2
C ( -1 ; 1 ) ∈ Cf , f(-1) = 1 ⇔ a * (-1)² + b * (-1 ) + c = 1
a -b + c = 1
a - b + 1 = 1
a - b = 1 - 1
a - b = 0
a + b = -2 (1)
a - b = 0 (2)
(1) a = -b - 2
-b - 2 dans (2) -b - 2 - b = 0
⇔ -2b = 2
⇔ b = -1
Dans (1) a + (-1) = -2
⇔ a - 1 = -2
⇔ a = -1
Equation du second degré , forme: ax² + bx + c
Forme développée de f: -x² - x + 1
Ex2
f(x) = x² - 4x + 1
⇔ f(x) = x² - 4x + 4 - 4 + 1
⇔ f(x) = ( x - 2 )² - 3 Minimum en ( 2 ; -3 )
g(x) = x² - x - 1
⇔ g(x) = x² - x + 1/4 - 1/4 - 1
⇔ g(x) = ( x - 1/2 )² -1/4 - 1
⇔ g(x) = ( x - 1/2 )² - 5/4 Minimum en ( 0,5 ; 1,25 )
h(x) = 5x² + 6x + 7
⇔ h(x) = 5 ( x² + 6/5x ) + 7
⇔ h(x) = 5 ( x² + 6/5x + 9/25 - 9/25 ) + 7
⇔ h(x) = 5 [ ( x +3/5 )² - 9/25 ] + 7
⇔ h(x) = 5 ( x + 3/5 )² - 45/25 + 7
⇔ h(x) = 5 ( x + 3/5 )² - 9/5 + 7
⇔ h(x) = 5 ( x +3/5 )² + 26/5 Minimum en ( -0,6 ; 5,2 )
EX3
x² - 3x + 3
Δ = 3² - 4 ( 1 * 3 ) = -3
Δ < 0 pas de racines
Entre - ∞ et + ∞, signe de a
a est positif, x² - 3x + 3 > 0
La parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses.
Ex4
9x² - 25 = 0
( 3x - 5 ) ( 3x + 5 ) = 0 Equation produit
3x - 5 = 0 ou 3x + 5 = 0
⇔ 3x = 5 ⇔ 3x = -5
⇔ x = 5/3 ⇔ x = -5/3
S = { -5/3 ; 5/3 }
2x - x² = 0
⇔ x ( -x + 2 ) = 0
x = 0 ou -x + 2 = 0
⇔ -x = -2
⇔ x = 2
S = { 0 ; 2 }
16x² + 8x + 1 = 0
Δ = 0
x = -b/2a
x = -8/32
⇔ x = -1/4
S = { -1/4 }
2x² +5x - 3 = 0
Δ = 49
x₁ = -3
x₂ = 1/2
S = { -3 ; 0,5 }
2x² + x + 3 = 0
Δ = 1² - 4 (2*3 ) = -23
Pas de solution
x² + ( √3 - 1 ) x - √3 = 0
Δ = ( √3 - 1 )² - 4 ( 1 * -√3 )
⇔ Δ = 3 - 2√3 + 1 + 4√3
⇔ Δ ≅ 7,4641
x₁ ≅ -1,73
x₂ ≅ 1
S = { -1,73 ; 1 }