user353
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Bonjour, j'ai besoin d'aide pour mon exercice de maths. Merci d'avance.

Démontrons que √2 est un nombre irrationnel.

On admettra la propriété suivante : " Si a² est pair, avec a entier, alors a est pair" .

Nous allons raisonner par l'absurde.
Supposons que √2 = a/b, a et b entiers et a/b irréductibles.

1) Montrer alors que a² est pair.
2) En déduire alors que b² est aussi pair.
3) Conclure.​

Sagot :

Vins

bonjour

si on suppose par l'absurde que √2 est rationnel alors √2 = a/b où a et b sont des nombres entiers positifs.

on peut simplifier a/b jusqu'à la rendre irréductible.

√2 = a/b

⇔ √2 b =a

⇔ 2 b² = a²

a² est pair donc peut s'écrire a = 2 p ou p est un entier positif

b²est pair donc on peut simplifier  a/b par 2

quand une fraction est irréductible cela signifie que a et b sont premiers entre eux  , or, si on peut simplifier a/b par 2 , a et b ne sont plus premiers entre eux donc on a une contradiction.

puisque l'hypothèse de devoir est contredite , on retient le contraire, à savoir que √2 est irrationnel

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