Réponse :
bonsoir
Explications étape par étape :
g(x)=(x²-2x+7)/(-2x+3)
1) g(x) est une fonction quotient et comme tu l'as appris la division par 0 est impossible (interdite) donc la valeur qui annule le diviseur est une valeur interdite. -2x+3= 0 pour x=3/2 (double trait dans le tableau)
donc Df=R-{3/2} (réponse donnée dans l'énoncé)
2)La dérivée d'une fonction quotient f(x)=u/v est f'(x)=(u'v-v'u)/v² formule à connaître.
dans ton exercice u=x²-2x+7 u'=2x-2
v=-2x+3 v'=-2
g'(x)=[(2x-2)(-2x+3)+2(x²-2x+7))/(-2x+3)²=(-2x²+6x+8)/(-2x+3)² (réponse donnée dans l'énoncé).
3) Le signe de la dérivée g'(x) dépend uniquement du signe de -2x²+6x+8
On résout -2x²+6x+8=0 ou (-x²+3x+4)=0
Via delta=25
solutions x1=-1 et x²=4
on en déduit le signe de g'(x) ;voir règle concernant le signe du polynôme du 2d degré en fonction du signe de "a" et des racines du polynôme (COURS)
Avant de dresser le tableau il nous faut les limites aux bornes du Df
Si x tend vers -oo, g(x) tend vers x/-2=+oo
Si x tend vers +oo g(x) tend vers x/-2=-oo
Si x tend vers 3/2 (avec x<3/2) g(x)tend vers +oo
si x tend vers 3/2 (avec x>3/2) , g(x) tend vers -oo
Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x -oo -1 3/2 +4 +oo
g'(x) - 0 + + 0 -
g(x) +oo......D......g(-1).....C........+oo II-oo.......C......g(4)..........D............-oo
Calcule g(-1) et g(4)
La droite x=3/2 est une asymptote verticale.
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Si tu effectues la division euclidienne (x²-2x+7) par (-2x+3) tu vas trouver un quotient q=ax+b et un reste c donc g(x)=ax+b+ c/(-2x+3)
la droite d'équation y=ax+b est une asymptote oblique. (non demandé)
