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Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour répondre à cet exercice :

ABCD est un carré de côté 10 cm ; E est un point de [AB]. Les points E, F, G et H sont placés de telle manière que AEFG et FICH soient des carrés. On note x la longueur AE exprimée en cm. On cherche les positions de E telles que la surface colorée ait une aire inférieure à 58 cm².
(Les carrés AEFG et FICH sont coloriés)

1. Conjecturer les positions de E qui répondent au problème.
2. Démontrer la conjecture :
a. Dans quel intervalle x peut-il varier ? Dans la suite, on note I cet intervalle.
b. Démontrer que le problème revient à résoudre dans I l'inéquation 2x² - 20x + 42 ≤ 0.
c. Vérifier que, pour tout réel x ∈ I, on a :
2x² - 20x + 42 = (2x - 6)(x - 7)
d. Conclure.

Merci d'avance ! Bonne journée :)

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

1. x varie entre 0 et 10

2. L’aire du carré AEFG est [tex]x^{2}[/tex]

AE = x donc EB = 10 - x, donc FI = 10 - x

l’aire du carré FICH est [tex](10 - x)^{2}[/tex]

on doit donc avoir [tex]x^{2} + (10-x)^{2} \leq 58[/tex]

en développant on arrive à [tex]2 x^{2} -20x+100\leq 52[/tex]

soit [tex]2x^{2} -20 x+100-58\leq 0[/tex] Ce qui donne l’inéquati demandée

[tex](2 x - 6) (x - 7) = 2 x^{2} -14 x -6x+42=2x^{2} -20x+42[/tex]

tu fais un tableau des signes avec x compris entre 0 et 10

une ligne pour le signe de 2 x - 6

une ligne pour le signe de x - 7

Tu vas trouver qu’il faut que 3 ≤ x ≤ 7

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