Explications étape par étape:
Bonsoir, ton exercice est plutôt calculatoire, sans trop être long, il te faut être méthodique (et bien connaître le cours, cela va sans dire).
a- En premier lieu, on exprimé u(n+1) en fonction de n, en remplaçant les n par n+1, dans l'expression de un, ce qui donne :
u(n+1) = -(n+1)^2 / n.
Ensuite, tu calcules formellement la différence :
u(n+1) - un = [- (n+1)^2 / n] - [-n^2 / (n-1)]
= [- (n-1)*(n+1)^2 / n(n-1)] + [n*n^2 / n(n-1)]
en réduisant au même dénominateur. On multiplie le membre de gauche par n-1, puis celui de droite par n en haut.
Ensuite : -(n-1)*(n+1)^2 = -(n-1)*(n+1)*(n+1) = - (n^2 - 1)*(n+1) (identité remarquable)
= - (n+1)*n^2 + n+1.
Ainsi, on peut sommer les 2 numérateurs :
- (n+1)*n^2 + n+1 + n*n^2 = n^2 * (n-(n+1)) + n+1 = -n^2 + n + 1.
Conclusion :
U(n+1) - Un = (-n^2 + n + 1) / n(n-1).
b) Pour n >= 2, le dénominateur est strictement positif. Il faut donc étudier le signe du numérateur, par le biais du discriminant, qui vaut 1 + 4 = 5.
Ainsi, 1 solution positive qui annule le numérateur :
n0 = (-1 - Rac(5)) / (-2) = (1 + Rac(5)) / 2 qui est inférieur à 2, on en tiendra donc pas compte.
Le coefficient devant n^2 étant négatif, l'expression est positive entre ses racines, et négative à l'extérieur.
On conclue donc que U(n) est strictement décroissante pour n >= 2.
De +, sa limite vaut - infini (on factorise par n^2, puis somme de limites). Ainsi, Un diverge.
