Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
a)
Voir graph joint.
b)
f(x) < 0 pour x ]-∞;2[ et > 0 pour x ∈ ]2;+∞[
2)
f '(x)=3x²+2x-1
f '(x) est < 0 entre ses racines car le coeff de x² est > 0.
Δ=2²-4(3)(-1)=16
√16=4
x1=(-2-4)/6=-1
x2=(-2+4)/6=1/3
Variation :
x-------->-∞...................-1....................1/3...................+∞
f '(x)---->............+.........0.........-..........0...........+..............
f (x)---->............C.........-9........D.......-275/27....C.......
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
3)
Lim f(x)= lim x³=-∞
x-->-∞
lim f(x)=lim x³=+∞
x-->+∞
Sur ]-∞;-1], f(x) est continue et strictement croissante avec f(-1)=-9 .
Donc sur cet intervalle , f(x) < 0.
Sur ][-1;1/3], f(x) est continue et strictement décroissante passant de la valeur -9 à la valeur -275/27.
Donc sur cet intervalle , f(x) < 0
Sur [1/3;+∞[ , f(x) est strictement croissante passant d'une valeur négative à des valeurs positives.
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que f(α)=0.
La calculatrice donne α=2.
Tableau de signes :
x----------->-∞...................2..................+∞
f(x)-------->..........-.............0.........+...........
Voir graph joint.
