bjr
A
un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec un nombre
limité de chiffres décimaux après la virgule.
ex : 2, 0341 ; 135, 152739 ; 7 [7,0]
quand on divise 1 par 3 la division ne se termine pas
1/3 = 0,333333333............ infinité de décimales
1/3 n'est pas un nombre décimal
1) et 2) et 3)
14/11 = 1,2727272727....... (1)
1427/333 = 4,2852852852852..... (2)
quand on divise 14 par 11 et 1427 par 333 les divisions ne se terminent pas
on observe une répétition des décimales
(1) et (2) sont les développements illimités de ces quotients
4)
a) quand on divise un nombre par 11 le reste est
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 (inférieur au diviseur 11, d'où 10 possibilités)
dans une division par 11, si aucun reste n'est 0, alors au bout d'un moment
on retombera sur un reste déjà écrit. Les décimales vont se reproduire
1 4 |_1 1_
3 0 1,27
8 0
3
le reste est 3, si l'on continue on va mettre 2 au diviseur.
le reste sera 8 et on va continuer ainsi sans fin
b)
dans une division par 333 le plus grand reste possible est 332
si l'on divise suffisamment longtemps on retrouvera un reste déjà écrit et
les décimales se répèteront
B
en divisant le numérateur par le dénominateur d'un quotient on trouve
le développement décimal illimité d'un nombre rationnel (non décimal)
on veut faire l'inverse, trouver le quotient quand on connaît le développement décimal illimité
1)
on considère x = 1,888888........
(c'est la même chose que lorsque l'on met la barre sur le 8, cela veut dire
que 8 se répète indéfiniment)
x = 1,8888888.......
10x = 18,88888888.....
10x - x = 17 (les décimales disparaissent)
9x = 17
x = 17/9
le nombre est 17/9
2)
y = 1,5858585858.....
comme il y a 2 chiffres qui se répètent on multiple par 100
100y = 158,58585858.....
100y - 10y = 157
99y = 157
y = 157/99
(on peut vérifier avec la calculatrice)
je passe le z (exercice trop long)
3)
x = 0,999999999
10x = 9,9999999
10x - x = 9
9x = 9
x = 9/9
x = 1