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Sagot :
Réponse :
Explications étape par étape :
Ta question vient surement en fin de devoir, il faut reprendre tes réponses précédentes
Si x = 0, l'équation est vérifiée pour tout m, donc 0 est toujours solution
Si x est différent de 0, ton équation est équivalente, en isolant m à : [tex]\frac{1-e^{x} }{x^2}=m[/tex]
Il faut étudier la fonction [tex]f(x)=\frac{1-e^{x} }{x^2}[/tex]
Tu vas trouver que [tex]f'(x)=\frac{-x^2e^{x}-2x(1-e^{x}) }{x^4} = \frac{-x ((x-2)e^{x}+2) }{x^4}[/tex]
f est continue, strictement croissante sur ] - ∞ ; 0 [ à valeurs dans ] 0 ; + ∞ [ donc d'après le théorème de la bijection,
si m > 0 l'équation f(x) = m admet une seule solution dans ] - ∞ ; 0 [,
si m ≤ 0 f(x) = m n'a pas de solution dans ] - ∞ ; 0 [.
f est continue, strictement croissante sur l'intervalle ] 0 ; α ], à valeurs dans ] - ∞ ; f(α)] donc d'après le théorème de la bijection,
si m ≤ f(α) l'équation f(x) = m admet une seule solution dans ] 0 ; α [,
si m > f(α), f(x) = m n'a pas de solution dans ] 0 ; α [,
f est continue, strictement décroissante sur l'intervalle ] α ; + ∞ [, à valeurs dans ] - ∞ ; f(α)] donc d'après le théorème de la bijection,
si m ≤ f(α) l'équation f(x) = m admet une seule solution dans ] α ; + ∞ [
si m > f(α), f(x) = m n'a pas de solution dans ] α ; + ∞ [.
Bilan on a
si m > 0 l'équation f(x) = m admet deux solutions : 0 et celle trouvée précédemment
Si f(α) < m ≤ 0, l'équation f(x) = m admet une seule solution 0
Si m ≤ f(α), l'équation f(x) = m admet trois solutions 0 et les deux trouvées précédemment
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