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Bonjour, J'ai vraiment besoin d'aide pour cet exercice. Merci d'avance

Un artisan fait une étude sur la vente de sa production de vases. Il en fabrique entre 0 et 60 et estime que le coût de production de x vases fabriqués est modélisé par la fonction C donnée par C(x) = x2 − 10x + 500. On note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases fabriqués. Un vase est vendu à 50 e.
1. Exprimer R(x) en fonction de x.
2. Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l’artisan vend 50 vases.
3. Démontrer que le bénéfice, en euros, réalisé par l’artisan est donné par la fonction B dont l’expression est : B(x) = −x2 + 60x − 500.
4. En utilisant la calculatrice, représenter la fonction B sur [0; 60]
5. Donner le tableau de variations de B.
6. a. Développer l’expression : −(x − 30)2 + 400.
b. Démontrer que B(x) 400.
c. En déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ Coût de fabrication :

   C(x) = x² - 10x + 500 pour 0 < x < 60 vases .

■ Recette :

   R(x) = 50x puisque chaque vase est vendu 50 €uros !

■ pour x = 50 vases :

   C(50) = 2500 €uros

   R(50) = 2500 €uros .

■ étude du Bénéfice :

   B(x) = R(x) - C(x)

          = 50x - x² + 10x - 500

          = -x² + 60x - 500

          = (x-50) (10-x) .

  le Bénéf sera maximum pour x milieu de [10 ; 50] ,

   donc pour x = 30 vases !

   C(30) = 1100 €uros ; R(30) =1500 €uros ;

   B(30) = 400 €uros .

■ tableau :

   x -->     0      10       30         50     60 vases

varia ->   croissante    |  décroissante

B(x) --> -500    0       400         0    -500 €uros

   remarque :

   un Bénéf de -500 €uros est en fait une perte !

   --> le Potier doit donc absolument fabriquer

        et vendre entre 10 et 50 vases

        pour dégager un Bénéf réel !

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