Bonjour :)
Tout d’abord, ce cours consistera à définir ce qu’est un système d’équations à deux inconnues. Ensuite, nous poursuivrons ce cours en évoquant 3 méthodes (substitution, combinaisons linéaires et résolution graphique) qui permettent de résoudre ce type de système.
- Qu'est-ce qu'un système de deux équations linéaires à deux variables inconnues ?
Définition : il représente un ensemble d’équations linéaires utilisant les mêmes variables ou inconnues : une solution est un couple (x ;y) qui satisfait simultanément les deux équations.
[tex]\begin{cases} a_ix + b_iy = c_i\\a_jx+b_jy=c_j\\\end{cases}\\\\ O\`u \ (x, y) \ et \ les \ coefficients \ a_i, b_i, c_i, a_j, b_j \ et\ c_j \in \mathbb R[/tex]
1) Par combinaisons linéaires
Cette méthode consiste à réaliser des opérations élémentaires au préalable afin de pouvoir éliminer une des deux inconnues en vue d’isoler la dernière. Il existe deux cas de figure : soit le système comporte deux équations dont une des deux inconnues a le même coefficient, soit il est nécessaire d’effectuer une transformation des équations par une opération de calcul en vue d’isoler une inconnue.
Exemple 1 : Résoudre le système (S) suivant dans R
[tex](S) = \begin{cases} 2x+3y = 6 \ \ (\'eq.1)\\2x-2y=1 \ \ (\'eq.2)\end{cases}\\[/tex]
On remarque qu’il existe le même coefficient devant la variable x dans les deux équations. Ainsi, nous pouvons faire éq.1 – éq.2 ou éq.2 – éq.1 pour isoler et identifier y. Ensuite, il suffira de déduire x en connaissant y.
[tex]\'eq.1 - \'eq.2 \Leftrightarrow (2x+3y)-(2x-2y)=6-1\\\\\Leftrightarrow 3y + 2y = 5\\\\\Leftrightarrow \fbox{y=1}[/tex]
En connaissant y, nous pouvons ainsi déterminer la valeur de x en choisissant une des deux équations du système :
[tex](\'eq.1) \ 2x+3y=6\\\\\Leftrightarrow 2x + 3 * 1 = 6\\\\\Leftrightarrow 2x = 3\\\\\Leftrightarrow \boxed{x=\frac{3}{2}}[/tex]
Exemple 2 : Résoudre le système (S) suivant dans R
[tex](S)=\begin{cases}2x+7y=5 \ \ (\'eq.1)\\5x-3y=5\ \ (\'eq.2)\\\end{cases}[/tex]
Dans ce cas de figure, il n’est pas encore possible d’isoler une seule inconnue. On doit effectuer un calcul au préalable afin de supprimer une des deux variables. En multipliant par 5 l’équation 1 et par 2 l’équation 2, on équilibre les coefficients devant le x. Ainsi, on pourra trouver y et déduire x ensuite.
[tex](S)=\begin{cases} 10x+35y=25 \ \ (\'eq.1)\\10x-6y=10 \ \ (\'eq.2)\\\end{cases}[/tex]
[tex]\'eq.1-\'eq.2 \Leftrightarrow (10x+35y)-(10x-6y)=25-10\\\\\Leftrightarrow 35y+6y=15\\\\\Leftrightarrow \boxed{y=\frac{15}{41}}[/tex]
On détermine maintenant la valeur de x :
[tex]\'eq.1 \Leftrightarrow 2x + 7*\frac{15}{41} =5\\\\\Leftrightarrow 2x=5-\frac{105}{41}\\\\\Leftrightarrow \boxed{x=\frac{50}{41}}[/tex]
2) Par substitution
Cette méthode consiste à donner une valeur à une inconnue en fonction de l’autre inconnue. Ainsi, cette quantité sera remplacée dans l’autre équation qui ne dépendra que d’une seule variable.
Exemple : soit le système (S), résoudre dans R
[tex](S)=\begin{cases} 3x + 11y = 6 \ \ (\'eq.1)\\x-3y=1 \ \ (\'eq.2)\\\end{cases}[/tex]
Dans cet exemple, nous allons isoler x dans la deuxième équation afin de trouver une certaine quantité en fonction de y. Cette quantité de x(y) doit être remplacée ensuite dans la variable x de la première équation. On aura ainsi substitué la valeur x.
[tex](S)=\begin{cases} 3x + 11y = 6 \ \ (\'eq.1)\\x=1+3y \ \ (\'eq.2)\\\end{cases}\\\\\\(S)=\begin{cases} 3(1+3y) + 11y = 6 \ \ (\'eq.1)\\x=1+3y \ \ (\'eq.2)\\\end{cases}\\\\\\(S)=\begin{cases} 3+9y + 11y = 6 \ \ (\'eq.1)\\x=1+3y \ \ (\'eq.2)\\\end{cases}\\\\\\(S)=\begin{cases} 20y = 3 \ \ (\'eq.1)\\x=1+3y \ \ (\'eq.2)\\\end{cases}\\\\\\[/tex]
[tex](S)=\begin{cases} y =\frac{3}{20} \ \ (\'eq.1)\\x=1+3y \ \ (\'eq.2)\\\end{cases}\\\\\\(S)=\begin{cases} y=\frac{3}{20} \ \ (\'eq.1)\\x=1+3*\frac{3}{20} \ \ (\'eq.2)\\\end{cases}\\\\\\(S)=\begin{cases} y=\frac{3}{20} \\x=\frac{29}{20} \\\end{cases}[/tex]
3) Par résolution graphique
Cette méthode consiste à considérer qu’une équation de type ax + by = c est en réalité une équation de droite. Il s’agit donc d’isoler y en vue de l’exprimer en fonction de x et ainsi identifier l’équation de la droite (y). Avec le tracé de deux droites, nous pouvons résoudre le système.
1er cas : les deux droites se coupent en un point où le couple (a ; b) représente la solution au système.
2ème cas : les droites sont parallèles. Au quel cas, il n’existe pas de solution.
3ème cas : les droites sont confondues. Il existe ainsi une infinité de solutions.
En espérant que ce cours t'aura aidé, je te souhaite une excellente continuation.
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