Réponse :
B(xB ; yB) et A(1 ; 0)
partie A
on suppose que xB = 2
1) déterminer la valeur de m
A(1 ; 0) et B(2 ; 4)
le coefficient directeur m = [f(xB) - f(xA)]/(xB - xA) = (4 - 0)/(2 - 1) = 4
donc m = 4
2) montrer que la droite (AB) est tangente à la courbe Cf au point B
L'équation de la droite (AB) est y = 4 x + b et 0 = 4*1 + b ⇒ b = - 4
donc l'équation de la droite (AB) est y = 4 x - 4
et l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse xB = 2 est :
y = f(2) + f '(2)(x - 2)
= 4 + 4(x - 2)
= 4 x - 4
donc la droite (AB) est tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 2
Partie B
1. B est un point quelconque sur la courbe Cf
montrer que m = x²B/(xB - 1)
A(1 ; 0) et B(xB ; yB) or yB = f(xB) = x²B
donc B(xB ; x²B)
le coefficient directeur m = (x²B - 0)/(xB - 1) = x²B/(xB - 1)
2) on considère g : x → x²/(x - 1)
déterminer le domaine de définition de g ainsi son domaine de dérivabilité
le domaine de définition de la fonction g est Df = R \ {1}
// // // dérivabilité est le même
3) montrer que, pour tout x ∈ DR, on a ; g '(x) = (x² - 2 x)/(x - 1)²
g(x) = x²/(x - 1)
g'(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u = x² ⇒ u' = 2 x
v = x - 1 ⇒ v' = 1
donc g '(x) = [2 x(x - 1) - x²]/(x - 1)²
= (2 x² - 2 x - x²)/(x - 1)²
donc g '(x) = (x² - 2 x)/(x - 1)²
4) étudier le signe de g ' et en déduire le tableau de variation de g
g '(x) = (x² - 2 x)/(x - 1)² or (x - 1)² > 0 donc le signe de g '(x) dépend du signe de x² - 2 x
x -∞ 0 2 + ∞
g'(x) + 0 - 0 +
Tableau de variation de g
x - ∞ 0 1 2 + ∞
g(x) - ∞ →→→→→→→→ 0 →→→→→→→→-∞||+∞→→→→→→→ 4 →→→→→→→→→ + ∞
croissante décroissante croissante
5) que pensez-vous de l'affirmation suivante ? Justifier
" si g atteint un extremum local en xB, alors la droite (AB) est tangente à la courbe Cf
l'extremum local en xB = 0 la droite (AB) est tangente à Cf qui est horizontale
Explications étape par étape :
