Answered

Bienvenue sur Laurentvidal.fr, le site où vous trouverez les meilleures réponses de la part des experts. Explorez une mine de connaissances de professionnels dans différentes disciplines sur notre plateforme de questions-réponses complète. Rejoignez notre plateforme pour vous connecter avec des experts prêts à fournir des réponses détaillées à vos questions dans divers domaines.

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice qui est pourtant simple depuis près de 2 heures... Je suis actuellement en Terminale Générale.

Consigne :
En 1980, 10 000 ménages vivant en France étaient équipés d'un ordinateur. On note f(t) le nombre de ces ménages, en million, t années après 1980 (t>=0).
Le modèle de Verhulst estime que sur la période 1980-2020, f est solution sur [0;40] de l'équation différentielle (E1):y'=0,022y(20-y).

1. a) On pose u=1/f. Démontrer que f est solution de (E1) si, et seulement si, u est solution sur [0;40] de l'équation différentielle (E2):y'=-0,44y+0,022.
b) Déterminer l'ensemble des solutions de (E2).
c) En déduire m'ensemble des solutions de (E1).
d) Démontrer alors que la fonction f est définie sur l'intervalle [0;40] par f(t)=20/(1+1999e^-0,44t).

J'ai demandé de l'aide à mes parents ainsi qu'à ma grand mère mais personne n'a l'air de pouvoir m'aider...
Serait-il possible de m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

Sagot :

caylus

Bonjour,

[tex]E_1: y'=0.022*y(20-y)\\\\y'-0.44*y=-0.022y^2\\[/tex]

Le polynôme du 2è membre en y est du second degré (p=2).

Ce type d'équation est de Bernoulli.

On pose z=y^(1-p)

z=y^-1=1/y

z'=-1/y² *y'

On a : -z'/z²-0.44*1/z=-0.022*1/z²

ou encore

1a) z'+0.44*z=0.022

1b)

L'équation homogène correspondante est z'+0.44*z=0

qui a pour solution z=e^(-0.44*t)*k

On va utiliser la méthode de le variation de la constante:

z'=-0.44*e^(-0.44*t)*k+k'*e^(-0.44*t)

L'équation générale devient:

z'+0.44*z=0.022

-0.44*e^(-0.44*t)*k+k'*e^(-0.44*t)+0.44*e^(-0.44*t)*k=0.022

k'=0.022 *e^(0.44*t)

k=0.022*e^(0.44*t)/0.44 +C

z=e^(-0.44*t)*k

Détermination de C:

si t=0 , y=10000 donc z=1/y=1/10000=k

1/10000=0.022/0.44+C

C=-0,0499.

J'espère que ceci peut t'aider et que je ne me suis pas trompé.

Nous espérons que cela vous a été utile. Revenez quand vous voulez pour obtenir plus d'informations ou des réponses à vos questions. Nous apprécions votre temps. Revenez quand vous voulez pour obtenir les informations les plus récentes et des réponses à vos questions. Vos questions sont importantes pour nous. Revenez régulièrement sur Laurentvidal.fr pour obtenir plus de réponses.