Réponse :
1) exprimer le vecteur BM en fonction du vecteur BC
vec(BC) = vec(BM) + vec(MC) or M milieu de (BC)
donc vec(BM) = vec(MC) ⇒ vec(BC) = 2vec(BM) ⇒ vec(BM) = 1/2vec(BC)
2) calculer les coordonnées des points M, D et E
M(x ; y) tel que vec(BM) = 1/2vec(BC)
vec(BM) = (x - 5 ; y + 1)
vec(BC) = (3-5 ; 5+1) = (- 2 ; 6) ⇒ 1/2vec(BC) = (- 1 ; 3)
x - 5 = - 1 ⇔ x = 4 et y + 1 = 3 ⇔ y = 2
M(4 ; 2)
D(x ; y) tel que vec(AD) = 3/2vec(AB)
vec(AD) = (x - 1 ; y - 1)
vec(AB) = (5 - 1 ; - 1 - 1) = (4 ; - 2) ⇒ 3/2vec(AB) = (6 ; - 3)
x - 1 = 6 ⇔ x = 7 et y - 1 = - 3 ⇔ y = - 2
D(7 ; - 2)
E(x ; y) tel que vec(AE) = 3/4vec(AC)
vec(AE) = (x - 1 ; y - 1)
vec(AC) = (3-1 ; 5 - 1) = (2 ; 4) ⇒ 3/4vec(AC) = (3/2 ; 3)
x - 1 = 3/2 ⇔ x = 3/2 + 1 = 5/2 et y - 1 = 3 ⇔ y = 4
E(5/2 ; 4)
3) démontrer que les points E ; M et D sont alignés
les vecteurs ED et EM sont colinéaires ssi il existe un réel k tel que
vec(ED) = kvec(EM)
vec(ED) = (7 - 5/2 ; - 2 - 4) = (9/2 ; - 6) = 3(3/2 ; - 2)
vec(EM) = (4 - 5/2 ; 2 - 4) = (3/2 ; - 2)
on en déduit que vec(ED) = 3vec(EM) avec k = 3
donc les vecteurs ED et EM sont colinéaires; par conséquent les points
M , D et E sont alignés
Explications étape par étape :
