Réponse :
1. [tex]f'(x) = \frac{-1}{x^2} -2\times \frac{1}{x}[/tex]
2. [tex]g'(x) = \frac{2ln(x)+1}{x}[/tex]
3.[tex]h'(x) = \frac{2 + \frac{1}{x} - 2\times ln(x)}{4x^2 + 4x + 1}[/tex]
4. [tex]k'(x) = \frac{ln(x)+x+1}{x^2+2x+ 1}[/tex]
Explications étape par étape :
Pour calculer les dérivés, on peut décomposer la fonction en 2 fonctions u et v et utiliser les règles suivantes :
Si f(x) = u(x) × v(x) alors f'(x) = u'(x)×v(x) + u(x)×v'(x)
Si f(x) = u(x) + v(x) alors f'(x) = u'(x) + v'(x)
Si f(x) = u(x) ÷ v(x) alors f'(x) = (u'(x)×v(x)-u(x)×v'(x)) ÷ (v(x)²)
Pour calculer (a+b)^2 on utilise les identités remarquables : (a²+2ˣaˣb+b²)
1. On pose :
[tex]u(x) = \frac{1}{x}[/tex]
[tex]v(x) = 2ln(x)[/tex]
D'où :
[tex]u'(x) = \frac{-1}{x^2}[/tex]
[tex]v'(x) = 2\times \frac{1}{x}[/tex]
Donc :
[tex]f'(x) = \frac{-1}{x^2} -2\times \frac{1}{x}[/tex]
2.On pose :
[tex]u(x) = ln(x)[/tex]
[tex]v(x) = ln(x)+1[/tex]
Donc :
[tex]u'(x) = v'(x) =\frac{1}{x}[/tex]
D'où :
[tex]g'(x) = \frac{1}{x}\times ln((x)+1) + ln(x)\times(\frac{1}{x} ) = \frac{2ln(x)+1}{x}[/tex]
3. On pose :
[tex]u(x) = ln(x) \\v(x) = 2x+1[/tex]
Donc :
[tex]u'(x) = \frac{1}{x}[/tex]
[tex]v'(x) = 2[/tex]
D'où :
[tex]h'(x) = \frac{\frac{1}{x}\times (2x+1) - ln(x) \times 2}{(2x+1)^2} = \frac{2 + \frac{1}{x} - 2\times ln(x)}{4x^2 + 4x + 1}[/tex]
4. On pose :
[tex]u(x) = xln(x)[/tex]
[tex]v(x) = x+1[/tex]
Donc :
[tex]u'(x) = 1\times ln(x) + x\times \frac{1}{x} = ln(x) + 1[/tex]
[tex]v'(x) = 1[/tex]
Donc [tex]k'(x) = \frac{(ln(x)+1)\times(x+1)-xln(x)\times1}{(x+1)^2}[/tex]
On développe : [tex]k'(x) = \frac{x\times ln(x)+ln(x) +x+1-xln(x)}{x^2+2+1} \\[/tex]
On simplifie : [tex]k'(x) = \frac{ln(x)+x+1}{x^2+2x+ 1}[/tex]
