Bonjour
1. E est le milieu du segment [BC] : VEC(CE)=1/2*VEC(CB)
A' est le symétrique de A par rapport au pont B : VEC(AB)=VEC(BA')
2)
a)
La base du plan est VEC(AB) et VEC(BC)
VEC(DA') = VEC(DA) + VEC(AB) + VEC(BA') Relation de Chasles
b) on sait que :
VEC(DA') = VEC(DA) + VEC(AB) + VEC(BA')
VEC(AB)=VEC(BA') (1) donc
VEC(DA') = VEC(DA) + VEC(AB) + VEC(AB)
VEC(DA') = 2 VEC(AB) + VEC(DA)
La propriété géométrique ABCD est un parallélogramme et l'égalité vectorielle VEC(DA)=VEC(CB),
VEC(DA') = 2 VEC(AB) + VEC(CB)
VEC(DA') = 2 VEC(AB) - VEC(BC)
3)
VEC(DE) = VEC(DC) + VEC(CE) Relation de Chasles
La propriété géométrique ABCD est un parallélogramme et l'égalité vectorielle VEC(AB)=VEC(DC), et par suite :
VEC(DE) =VEC(AB) + VEC(CE)
Mais VEC(CE)=1/2*VEC(CB) cela donne :
VEC(DE) =VEC(AB) + 1/2*VEC(CB)
VEC(DE) =VEC(AB) - 1/2*VEC(BC)
4)
En termes de vecteurs, les points D, E et A' sont alignés si les vecteurs VEC(DE) et VEC(DA') sont colinéaires. En effet, deux vecteurs colinéaires ayant un point commun sont les vecteurs directeurs d’une même droite.
Bon courage
