Réponse :
f(x) = x³ - 24 x² + 180 x + 250 définie sur [5 ; 20] en millier d'emballages
1) a) calculer f '(x)
f '(x) = 3 x² - 48 x + 180
b) démontrer que, pour tout x de [5 ; 20], on a, f '(x) = 3(x - 10)(x - 6)
f '(x) = 3 x² - 48 x + 180
= 3(x² - 16 x + 60)
= 3(x² - 16 x + 60 + 64 - 64)
= 3(x² - 16 x + 64 - 4)
= 3((x - 8)² - 4)
= 3((x - 8 + 2)(x - 8 - 2)
f '(x) = 3(x - 6)(x - 10)
2) a) étudier le signe de f '(x) pour tout x de l'intervalle [5 ; 20]
x 5 6 10 20
x - 6 - 0 + +
x - 10 - - 0 +
P + 0 - 0 +
f '(x) ≥ 0 sur l'intervalle [5 ; 6]U[10 ; 20]
f '(x) ≤ 0 // // [6 ; 10]
b) construire le tableau de variation de f sur [5 ; 20]
x 5 6 10 20
f(x) 675 →→→→→→→→ 682 →→→→→→→→→ 650 →→→→→→→→→ 2250
croissante décroissante croissante
c) quel est le nombre d'emballages à fabriquer pour obtenir le coût minimal ? quel est alors ce coût minimal ?
Le nombre d'emballages à fabriquer qui donne le coût minimal est 10 (en millier) soit 10 000
ce coût minimal est de 650 €
Explications étape par étape :
